全等三角形习题

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全等三角形证明题精选

一．解答题〔共30小题〕

1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．

〔1〕求证：△ADE≌△CBF；

〔2〕假设AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．

2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．

〔1〕求证：AC∥DE；

〔2〕假设BF=13，EC=5，求BC的长．

3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．

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4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．

〔1〕求证：△AOD≌△BOC；

〔2〕求证：AD∥BC．

5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．

6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：

AE=BC．

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7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．

8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．

9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB

求证：AE=CE．

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10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．

11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．

12．已知△ABN和△ACM位置如下图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

〔1〕求证：BD=CE；

〔2〕求证：∠M=∠N．

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13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．

14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．

15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

〔1〕求证：AB=AC；

〔2〕假设AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．

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16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．

17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．

18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．

求证：△ABC≌△DEF．

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19．已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使

△ABM≌△CDN，并给出证明．

〔1〕你添加的条件是：；

〔2〕证明：．

20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．

21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线

BE、CF，垂足分别为点E、F．

求证：BE=CF．

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22．一个平分角的仪器如下图，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．

23．在数学课上，林老师在黑板上画出如下图的图形〔其中点B、F、C、E在同一直线上〕，

并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．

请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，

组成一个真命题，并给予证明．

题设：；结论：．〔均填写序号〕

证明：

24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．

求证：AC=DF．〔要求：写出证明过程中的重要依据〕

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25．如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．

26．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条

件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．

〔1〕请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：

命题的条件是和，命题的结论是和〔均填序号〕；

〔2〕证明你写出的命题．

27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一

对给予证明．

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28．如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．

求证：AE=DE．

29．如图，给出以下论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为

条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．

30．已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作

AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．

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全等三角形证明题精选

参考答案与试题解析

一．解答题〔共30小题〕

1．〔2016•连云港〕四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为

E、F．

〔1〕求证：△ADE≌△CBF；

〔2〕假设AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．

【分析】〔1〕根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等

三角形的判定定理即可得到结论；

〔2〕如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的

判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．

【解答】证明：〔1〕∵BE=DF，

∴BE﹣EF=DF﹣EF，

即BF=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°，

在Rt△ADE与Rt△CBF中，，

∴Rt△ADE≌Rt△CBF；

〔2〕如图，连接AC交BD于O，

∵Rt△ADE≌Rt△CBF，

∴∠ADE=∠CBF，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三

角形的判定和性质是解题的关键．

2．〔2016•曲靖〕如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．

〔1〕求证：AC∥DE；

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〔2〕假设BF=13，EC=5，求BC的长．

【分析】〔1〕首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE；

〔2〕根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5

进而可得EB的长，然后可得答案．

【解答】〔1〕证明：在△ABC和△DFE中，

∴△ABC≌△DFE〔SAS〕，

∴∠ACE=∠DEF，

∴AC∥DE；

〔2〕解：∵△ABC≌△DFE，

∴BC=EF，

∴CB﹣EC=EF﹣EC，

∴EB=CF，

∵BF=13，EC=5，

∴EB==4，

∴CB=4+5=9．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的

性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

3．〔2016•孝感〕如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．

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【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，

从而可以证得结论．

【解答】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，

∴∠ADB=∠AEC=90°，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC〔ASA〕

∴AB=AC，

又∵AD=AE，

∴BE=CD．

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的

条件．

4．〔2016•湘西州〕如图，点O是线段AB和线段CD的中点．

〔1〕求证：△AOD≌△BOC；

〔2〕求证：AD∥BC．

【分析】〔1〕由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相

等，即可利用全等三角形的判定定理〔SAS〕证出△AOD≌△BOC；

〔2〕结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结

论．

【解答】证明：〔1〕∵点O是线段AB和线段CD的中点，

∴AO=BO，CO=DO．

在△AOD和△BOC中，有，

∴△AOD≌△BOC〔SAS〕．

〔2〕∵△AOD≌△BOC，

∴∠A=∠B，

∴AD∥BC．

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【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：〔1〕

利用SAS证出△AOD≌△BOC；〔2〕找出∠A=∠B．此题属于基础题，难度不大，解决该

题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相

等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可．

5．〔2016•云南〕如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．

【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的

性质：得出结论．

【解答】证明：∵点C是AE的中点，

∴AC=CE，

在△ABC和△CDE中，，

∴△ABC≌△CDE，

∴∠B=∠D．

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，

AAS，直角三角形还有HL．

6．〔2016•宁德〕如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求

证：AE=BC．

【分析】根据平行线的性质找出∠ADE=∠BAC，借助全等三角形的判定定理ASA证出△

ADE≌△BAC，由此即可得出AE=BC．

【解答】证明：∵DE∥AB，

∴∠ADE=∠BAC．

在△ADE和△BAC中，，

∴△ADE≌△BAC〔ASA〕，

∴AE=BC．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关

键．

7．〔2016•十堰〕如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．

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【分析】欲证明AF=DF只要证明△ABF≌△DEF即可解决问题．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠B=∠FED，

在△ABF和△DEF中，

，

∴△ABF≌△DEF，

∴AF=DF．

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握

全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．

8．〔2016•武汉〕如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求

证：AB∥DE．

【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC=EF．运用SSS证明△

ABC与△DEF全等．

【解答】证明：∵BE=CF，

∴BC=EF，

在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF〔SSS〕，

∴∠ABC=∠DEF，

∴AB∥DE．

【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，

SSS，全等三角形的对应角相等．

9．〔2016•昆明〕如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB

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求证：AE=CE．

【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定

理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．

【解答】证明：∵FC∥AB，

∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE〔AAS〕，

∴AE=CE．

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、

AAS、HL是解题的关键．

10．〔2016•衡阳〕如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，

求证：DE=CF．

【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．

【解答】证明：∵AC=BD，

∴AC+CD=BD+CD，

∴AD=BC，

在△AED和△BFC中，

，

∴△AED≌△BFC〔ASA〕，

∴DE=CF．

【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AED≌△BFC是解此题的

关键，注意：全等三角形的对应边相等．

11．〔2016•重庆〕如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求

证：AE=FB．

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【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边

相等即可．

【解答】证明：∵CE∥DF，

∴∠ACE=∠D，

在△ACE和△FDB中，

，

∴△ACE≌△FDB〔SAS〕，

∴AE=FB．

【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，

证明三角形全等是解决问题的关键．

12．〔2016•南充〕已知△ABN和△ACM位置如下图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

〔1〕求证：BD=CE；

〔2〕求证：∠M=∠N．

【分析】〔1〕由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可

〔2〕证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△

ABN，得出对应角相等即可．

【解答】〔1〕证明：在△ABD和△ACE中，，

∴△ABD≌△ACE〔SAS〕，

∴BD=CE；

〔2〕证明：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，

即∠BAN=∠CAM，

由〔1〕得：△ABD≌△ACE，

∴∠B=∠C，

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在△ACM和△ABN中，，

∴△ACM≌△ABN〔ASA〕，

∴∠M=∠N．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．

13．〔2016•恩施州〕如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．

【分析】通过全等三角形〔Rt△CBE≌Rt△BCD〕的对应角相等得到∠ECB=∠DBC，则

AB=AC．

【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，

∴∠CEB=∠BDC=90°．

∵在Rt△CBE与Rt△BCD中，，

∴Rt△CBE≌Rt△BCD〔HL〕，

∴∠ECB=∠DBC，

∴AB=AC．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．在应用全等三角形的判

定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

14．〔2016•重庆〕如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠

B=∠E．

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC和

△CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ECD，

在△ABC和△CED中，

，

∴△ABC≌△CED〔SAS〕，

∴∠B=∠E．

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【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定

方法并找出两边的夹角是解题的关键．

15．〔2016•湖北襄阳〕如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，

DF⊥AC于点F．

〔1〕求证：AB=AC；

〔2〕假设AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．

【分析】〔1〕先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．

〔2〕先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定

理列出方程即可解决问题．

【解答】〔1〕证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，

在RT△DEB和RT△DFC中，

，

∴△DEB≌△DFC，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC．

〔2〕∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，∠DAC=30°，

∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，

∵AC

2=AD2

+CD

2

，

∴4a

2=a2

+〔2〕

2

，

∵a＞0，

∴a=2，

∴AC=2a=4．

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识，解题

的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于

中考常考题型．

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16．〔2016•吉安校级一模〕如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求

∠GBF的度数．

【分析】根据全等三角形的性质得到CD=AF，证明∴△DGC≌△AGF，根据全等三角形的

性质和角平分线的判定得到∠CBG=∠FBG，根据三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，

∴BC=BF，BD=BA，

∴CD=AF，

在△DGC和△AGF中，

，

∴△DGC≌△AGF，

∴GC=GF，又∠ACB=∠DFB=90°，

∴∠CBG=∠FBG，

∴∠GBF=〔90°﹣28°〕÷2=31°．

【点评】此题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、

对应角相等是解题的关键．

17．〔2016•武汉校级四模〕如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求

证：△ABC≌△BAD．

【分析】由垂直的定义可得到∠C=∠D，结合条件和公共边，可证得结论．

【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C=∠D=90，

在Rt△ACB和Rt△BDA中，

，

∴△ACB≌△BDA〔HL〕．

【点评】此题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即

SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

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18．〔2016•济宁二模〕已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且

AC∥DF．

求证：△ABC≌△DEF．

【分析】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出全等即可．

【解答】证明：∵BF=CE，

∴BF+FC=CE+FC，

∴BC=FE，

∵AC∥DF，

∴∠ACB=∠DFE，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF〔SAS〕．

【点评】此题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题

的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

19．〔2016•诏安县校级模拟〕已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请

你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．

〔1〕你添加的条件是：∠MAB=∠NCD；

〔2〕证明：在△ABM和△CDN中

∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD

∴△ABM≌△CDN〔ASA〕．．

【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条

件为∠MAB=∠NCD，或BM=DN或∠ABM=∠CDN．

【解答】解：〔1〕你添加的条件是：①∠MAB=∠NCD；

〔2〕证明：在△ABM和△CDN中

∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD

∴△ABM≌△CDN〔ASA〕，

故答案为：∠MAB=∠NCD；

在△ABM和△CDN中

∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD

∴△ABM≌△CDN〔ASA〕．

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【点评】此题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、

SSS、SAS、AAS、HL〔在直角三角形中〕．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证

的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

20．〔2016•屏东县校级模拟〕如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．

【分析】要证∠B=∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的

两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出．

【解答】证明：在△ABE与△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD〔SAS〕，

∴∠B=∠C．

【点评】此题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察

出公共角∠A是解决此题的关键．

21．〔2016•沛县校级一模〕如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作

AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．

求证：BE=CF．

【分析】易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．

【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，

∴∠BED=∠CFD=90°，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD〔AAS〕，

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∴BE=CF．

【点评】此题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，此题中找出

全等三角形并证明是解题的关键．

22．〔2016•福州〕一个平分角的仪器如下图，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．

【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理〔SSS〕

证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．

【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，

∴△ABC≌△ADC〔SSS〕，

∴∠BAC=∠DAC．

【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．此题

属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等

是关键．

23．〔2012•漳州〕在数学课上，林老师在黑板上画出如下图的图形〔其中点B、F、C、E

在同一直线上〕，并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．

请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，

组成一个真命题，并给予证明．

题设：可以为①②③；结论：④．〔均填写序号〕

证明：

【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定

理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC

≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再

根据全等三角形的性质可推出结论．

【解答】情况一：题设：①②③；结论：④．

证明：∵BF=EC，

∴BF+CF=EC+CF，

即BC=EF．

在△ABC和△DEF中，

，

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∴△ABC≌△DEF〔SAS〕，

∴∠1=∠2；

情况二：题设：①③④；结论：②．

证明：在△ABC和△DEF中，

∵，

∴△ABC≌△DEF〔AAS〕，

∴BC=EF，

∴BC﹣FC=EF﹣FC，

即BF=EC；

情况三：题设：②③④；结论：①．

证明：∵BF=EC，

∴BF+CF=EC+CF，

即BC=EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF〔ASA〕，

∴AB=DE．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强

的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答．

24．〔2009•大连〕如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．

求证：AC=DF．〔要求：写出证明过程中的重要依据〕

【分析】因为BE=CF，利用等量加等量和相等，可证出BC=EF，再证明△ABC≌△DEF，

从而得出AC=DF．

【解答】证明：∵BE=CF，

∴BE+EC=CF+EC〔等量加等量和相等〕．

即BC=EF．

在△ABC和△DEF中，

AB=DE，∠B=∠1，BC=EF，

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∴△ABC≌△DEF〔SAS〕．

∴AC=DF〔全等三角形对应边相等〕．

【点评】解决此题要熟练运用三角形的判定和性质．判定两个三角形全等，先根据已知条件

或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么

条件．

25．〔2006•平凉〕如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．

【分析】探究思路：因为△ABO与△DCO有一对对顶角，要证∠1=∠2，只要证明∠A=∠

D，把问题转化为证明△ABC≌△DCB，再围绕全等找条件．

【解答】证明：在△ABC和△DCB中

∵，

∴△ABC≌△DCB．

∴∠A=∠D．

又∵∠AOB=∠DOC，

∴∠1=∠2．

【点评】此题是全等三角形的判定，性质的综合运用，可以由探究题目的结论出发，找全等

三角形，再寻找判定全等的条件．

26．〔2006•佛山〕如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现

有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．

〔1〕请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：

命题的条件是①和③，命题的结论是②和④〔均填序号〕；

〔2〕证明你写出的命题．

【分析】此题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形ABE和ACD

全等来求解的．已经有了一个公共角∠A，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得

出三角形全等的结论．可根据这个思路来进行选择和证明．

【解答】解：〔1〕命题的条件是①和③，命题的结论是②和④．

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〔2〕已知：D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，

且AB=AC，∠ABE=∠ACD．

求证：OB=OC，BE=CD．

证明如下：

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∠BAC=∠CAB，

∴△ABE≌△ACD．

∴BE=CD．

又∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=∠ABC﹣∠ABE=∠CBE，

∴△BOC是等腰三角形．

∴OB=OC．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，要注意的是AAA和SSA是不能判定三角形全

等的．

27．〔2005•安徽〕如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形

并任选其中一对给予证明．

【分析】此题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．做题时从

已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．

【解答】解：此图中有三对全等三角形．分别是：△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△

BCF≌△EFC．

证明：∵AB∥DE，

∴∠A=∠D．

又∵AB=DE、AF=DC，

∴△ABF≌△DEC．

【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三

角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，

看缺什么条件，再去证什么条件．

28．〔2004•昆明〕如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．

求证：AE=DE．

【分析】利用已知条件易证△AEB≌△DEC，从而得出AE=DE．

【解答】证明：∵AD∥BC，∠B=∠C，

∴梯形ABCD是等腰梯形，

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∴AB=DC，

在△AEB与△DEC中，

，

∴△AEB≌△DEC〔SAS〕，

∴AE=DE．

【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，

必须有边的参与，假设有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

29．〔2004•淮安〕如图，给出以下论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其

中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．

【分析】可以有三个真命题：

〔1〕②③⇒①，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以DE=EC；

〔2〕①③⇒②，可由SAS证得△ADE≌△BCE，所以∠1=∠2；

〔3〕①②⇒⑧，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以AE=BF，∠3=∠4．

【解答】解：②③⇒①

证明如下：

∵∠3=∠4，

∴EA=EB．

在△ADE和△BCE中，

∴△ADE≌△BCE．

∴DE=EC．

①③⇒②

证明如下：

∵∠3=∠4，

∴EA=EB，

在△ADE和△BCE中，，

∴△ADE≌△BCE，

∴∠1=∠2．

①②⇒⑧

证明如下：

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在△ADE和△BCE中，

∴△ADE≌△BCE．

∴AE=BE，∠3=∠4．

【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质；题目是一道开放型的问题，选择有多种，可

以采用多次尝试法，证明时要选择较为简单的进行证明．

30．〔2011•通州区一模〕已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，

过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．

【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，求证∠BCF+∠B=90°，可得∠ACF=∠B，再利用〔AAS〕

求证△BCF≌△CAE即可．

【解答】证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD

∴∠AEC=∠BFC=90°

∴∠BCF+∠B=90°

∵∠ACB=90°，

∴∠BCF+∠ACF=90°

∴∠ACF=∠B

在△BCF和△CAE中

∴△BCF≌△CAE〔AAS〕

∴CE=BF．

【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，解答此题的关键是利用〔AAS〕

求证△BCF≌△CAE，要求学生应熟练掌握．