全等三角形难题

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全等三角形难题(含答案)

1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

A

BC

D

解：延长AD到E,使AD=DE

∵D是BC中点

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

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1

2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：

CDAB

2

A

D

CB

延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP

∵DP=DC,DA=DB

∴ACBP为平行四边形

又∠ACB=90

∴平行四边形ACBP为矩形

∴AB=CP=1/2AB

3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

A

2

1

BE

CFD

证明：连接BF和EF

∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)

∴BF=EF,∠CBF=∠DEF

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连接BE

在三角形BEF中,BF=EF

∴∠EBF=∠BEF。

∵∠ABC=∠AED。

∴∠ABE=∠AEB。

∴AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴三角形ABF和三角形AEF全等。

∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。

4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

A

2

1

F

C

D

E

B

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角）

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∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又，EF∥AB

∴，∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形，

AC＝CG

又EF＝CG

∴EF＝AC

5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC

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∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD（SAS）

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE

∴BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE

∴∠ABC＝2∠E

∴∠ABC＝2∠C

6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明：

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在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC＝∠FAC

∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

7.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

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在BC上截取BF=AB，连接EF

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠FBE

又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）

∴∠A=∠BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180o

∵∠BFE+∠CFE=180o

∴∠D=∠CFE

又∵∠DCE=∠FCE

CE平分∠BCD

CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）

∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

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8.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

ED

C

F

AB

AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，

∵∠EAB=∠BDE，

∴∠AED=∠ABD，

∴四边形ABDE是平行四边形。

∴得：AE=BD，

∵AF=CD,EF=BC，

∴三角形AEF全等于三角形DBC，

∴∠F=∠C。

9.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

AD

BC

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD

AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：

△AED是等腰三角形。

∴AE=DE

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而AB=CD

∴BE=CE(等量加等量，或等量减等量）

∴△BEC是等腰三角形

∴∠B=∠C.

10.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

C

A

PD

B

在AC上取点E，

使AE＝AB。

∵AE＝AB

AP＝AP

∠EAP＝∠BAE，

∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE

∴PC＜（AC－AE）＋PB

∴PC－PB＜AC－AB。

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11.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：

在AC上取一点D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；

∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC–AB=AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，

∴AE垂直BD

∵BE⊥AE

∴点E一定在直线BD上，

在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴点E也是BD的中点

∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB

∴AC-AB=2BE

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12.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

D

C

F

A

EB

∵作AG∥BD交DE延长线于G

∴AGE全等BDE

∴AG=BD=5

∴AGF∽CDF

AF=AG=5

∴DC=CF=2

18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

AD至BC于点E,

∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形

∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

即∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

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∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

｛AB=AC

∠1=∠2

BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）

∴∠BAD=∠CAD

∴AE是△ABC的中垂线

∴AE⊥BC

∴AD⊥BC

19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

证明：

∵OM平分∠POQ

∴∠POM＝∠QOM

∵MA⊥OP，MB⊥OQ

∴∠MAO＝∠MBO＝90

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∵OM＝OM

∴△AOM≌△BOM（AAS）

∴OA＝OB

∵ON＝ON

∴△AON≌△BON（SAS）

∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB

∵∠ONA+∠ONB＝180

∴∠ONA＝∠ONB＝90

∴OM⊥AB

20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线

交AP于D．求证：AD+BC=AB．

P

C

E

D

AB

做BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴A∠EB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

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∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

A

C

DB

延长AC到E

使AE=AC连接ED

∵AB=AC+CD

∴CD=CE

可得∠B=∠E

△CDE为等腰

∠ACB=2∠B

22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

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若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立

请给予证明；若不成立请说明理由．

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF；

（2）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

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∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF．

23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相

A

等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

D

O

E

B

C

证明：

∵DC∥AB

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∴∠CDE＝∠AED

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∵DE＝DE，DC＝AE

∴△AED≌△EDC

∵E为AB中点

∴AE＝BE

∴BE＝DC

∵DC∥AB

∴∠DCE＝∠BEC

∵CE＝CE

∴△EBC≌△EDC

∴△AED≌△EBC

24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长

线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：BD=2CE．

F

A

E

D

BC

证明：

∵∠CEB=∠CAB=90°

∴ABCE四点共元

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∵∠ABE=∠CBE

∴AE=CE

∴∠ECA=∠EAC

取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG

∴∠GAB=∠ABG

而：∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等）

∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB

而：AC=AB

∴△AEC≌△AGB

∴EC=BG=DG

∴BE=2CE

25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

EF

DC

B

A

证明：∵DF=CE，

∴DF-EF=CE-EF，

即DE=CF，

在△AED和△BFC中，

∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF

∴△AED≌△BFC（SAS）

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26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

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求证：AM是△ABC的中线。

A

F

B

CM

E

证明：

∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM

∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.

27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

A

D

B

C

∵△ABD和△BCD的三条边都相等

∴△ABD=△BCD

∴∠ADB=∠CD

∴∠ADB=∠CDB=90°

∴BD⊥AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

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A

D

BC

F

在△ABD与△ACD中

AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴∠ADB=∠ADC

∴∠BDF=∠FDC

在△BDF与△FDC中

BD=DC

∠BDF=∠FDC

DF=DF

∴△FBD≌△FCD

∴BF=FC

29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

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A

B

F

E

C

D

∵AB=DC

AE=DF,

CE=FB

CE+EF=EF+FB

∴△ABE=△CDF

∵∠DCB=∠ABF

AB=DCBF=CE

△ABF=△CDE

∴AF=DE

13.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁

各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好

在一条直线上.

证明：连接EF

∵AB∥CD

∴∠B=∠C

∵M是BC中点

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∴BM=CM

在△BEM和△CFM中

BE=CF

∠B=∠C

BM=CM

∴△BEM≌△CFM（SAS）

∴CF=BE

31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE

≌△CDF．

∵AF=CE,FE=EF.

∴AE=CF.

∵DF//BE,

∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）

∵BE=DF

∴：△ABE≌△CDF（SAS）

14.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。

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D

E

AC

F

B

连接BD；

∵AB=ADBC=D

∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC；

∵BC=DCEF是中点

∴DE=BF；

∵AB=ADDE=BF

∠ADC=∠ABC

∴AE=AF。

33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．

D

A

1

2

E

5

6

3

4

C

B

证明：

在△ADC，△ABC中

∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA

∴△ADC≌△ABC（两角加一边）

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∵AB=AD，BC=CD

在△DEC与△BEC中

∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD

∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）

∴∠DEC=∠BEC

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．

∵AD=DF

∴AC=DF

∵AB//DE

∴∠A=∠EDF

又∵BC//EF

∴∠F=∠BCA

∴△ABC≌△DEF（ASA）

35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，

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求证：BE=CD．

C

D

F

EA

证明：

∵BD⊥AC

∴∠BDC=90°

∵CE⊥AB

∴∠BEC=90°

∴∠BDC=∠BEC=90°

∵AB=AC

∴∠DCB=∠EBC

∴BC=BC

∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)

∴BE=CD

36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：DE=DF．

A

E

F

BDC

证明：

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∵AD是∠BAC的平分线

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∴∠EAD=∠FAD

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BFD=∠CFD=90°

∴∠AED与∠AFD=90°

在△AED与△AFD中

∠EAD=∠FAD

AD=AD

∠AED=∠AFD

∴△AED≌△AFD（AAS）

∴AE=AF

在△AEO与△AFO中

∠EAO=∠FAO

AO=AO

AE=AF

∴△AEO≌△AFO（SAS）

∴∠AOE=∠AOF=90°

∴AD⊥EF

15.已知：如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD

的长？

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A

D

E

BC

∵AD⊥AB

∴∠BAC=∠ADE

又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E

根据三角形角度之和等于180度

∴∠ABC=∠DAE

∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）

∴AD=AB=5

38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC

A

F

E

BMC

证明：

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∵AB=AC

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∴∠B=∠C

∵ME⊥AB，MF⊥AC

∴∠BEM=∠CFM=90°

在△BME和△CMF中

∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF

∴△BME≌△CMF（AAS）

∴MB=MC．

16.如图，给出五个等量关系：①ADBC②ACBD③CEDE④DC⑤

DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论

（只需写出一种情况），并加以证明．

已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA

求证：△DAB≌△CBA

证明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA

又∵AB=AB

∴△DAB≌△CBA

40．在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，

BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌CEB；

②DEADBE；

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(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成

立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE

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41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥

BF

F

EA

M

BC

（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，

即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，

∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC=BF；

（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，

∴∠AEC=∠ABF，

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），

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∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，

∴EC⊥BF．

42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

A

N

4

3

F

E

M2

1

BC

证明：

（1）

∵BE⊥AC，CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC，CN=AB

∴△ABM≌△NAC

∴AM=AN

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（2）

∵△ABM≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN

43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF

在△ABF和△CDE中

,AB=DE

∠A=∠D

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AF=CD

∴△ABF≡△CDE（边角边）

∴FB=CE

在四边形BCEF中

FB=CE

BC=EF

∴四边形BCEF是平行四边形

∴BC‖EF

44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD

相等吗？请说明理由

在AB上取点N,使得AN=AC

∵∠CAE=∠EAN

∴AE为公共,

∴△CAE≌△EAN

∴∠ANE=∠ACE

又∵AC平行BD

∴∠ACE+∠BDE=180

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而∠ANE+∠ENB=180

∴∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

∵BE为公共边

∴△EBN≌△EBD

∴BD=BN

∴AB=AN+BN=AC+BD

45、（10分）如图,已知:AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．

证明：

∵AD是△ABC的中线

BD=CD

∵DF=DE（已知）

∠BDE=∠FDC

∴△BDE≌△FDC

则∠EBD=∠FCD

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。

46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF．

求证：AB∥CD．

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DC

F

E

AB

证明：

∵DE⊥AC，BF⊥AC

∴∠CED=∠AFB=90o

又∵AB=CD，BF=DE

∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）

∴AF=CE

∠BAF=∠DCE

∴AB//CD

47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

D

A

.

1

2

34

B

C

∵,∠3=∠4

∴OB=OC

在△AOB和△DOC中

∠1=∠2

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OB=OC

∠AOB=∠DOC

△AOB≌△DOC

∴AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DB

在△ACB和△DBC中

AC=DB

,∠3=∠4

BC=CB

△ACB≌△DBC

∴AB=CD

48、(10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的

大小与位置关系，并证明你的结论.

C

D

AB

E

CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。

证明：

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过D作AE平行线与AC交于F，连接FB

由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。

RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°

∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90°

△DFB中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°

RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF<45°

∠AFB=90°-∠FBA>45°

∴AB>AF

∵AB=CEAF=DE

∴CE>DE

49、(10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.

A

D

BEC

∵AB=DC,AC=DB，BC=BC

∴△ABC≌△DCB，

∴∠ABC=∠DCB

又∵BE=CE，AB=DC

∴△ABE≌△DCE

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∴AE=DE

50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作

AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

C

D

F

AB

E

图9

作CG⊥AB,交AD于H,

则∠ACH=45o,∠BCH=45o

∵∠CAH=90o-∠CDA,∠BCE=90o-∠CDA∴∠CAH=∠BCE

又∵AC=CB,∠ACH=∠B=45o

∴△ACH≌△CBE,∴CH=BE

又∵∠DCH=∠B=45o,CD=DB

∴△CFD≌△BED

∴∠ADC=∠BDE

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