逆矩阵计算

求逆矩阵的若干方法和举例

苏红杏

广西民院计信学院00数本（二）班

［摘要］本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读

［关键词］逆矩阵初等矩阵伴随矩阵对角矩阵矩阵分块多项式等

引言在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在

研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍

下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。

定义：n阶矩阵A为可逆，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E，这里E是n阶单位矩

阵，此时，B就称为A的逆矩阵，记为Aj，即：B=A_

1

方法一•初等变换法（加边法）

我们知道，n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=

Q1Q2…Qm，从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系

列初等矩阵Q1Q2Qm使

Q

m

Q

m」

Q

1A=E（1）

贝UA，=QmQm4…Q1A二E（2）

把A,E这两个n阶矩阵凑在一起，做成一个nR2ri阶矩阵（A,E）,按矩阵的分块乘法，

（1）（2）可以合并写成

QmQm」Q（A，E）=（QmQm」Q1，AQmQm4Q1E）=（E，A」）（3）

这样就可以求出矩阵A的逆矩阵A1234。

广012、

例1.设A=114求A」。

<2-10丿

解：由（3）式初等行变换逐步得到：

01210

0

”

11

4

01

0"

1002

-1r

11

4

010012100T010

4-21

a

-1

000

1

」

<2

-1

000

1」

<00

-23

-21」

1002-11

0104-21

31

001——1■■-

.22丿

2-11

于是AA=4-21

3

1

1

C22

说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时,

使用初等变换法的优点更明显。同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法

求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变

换。

方法二.伴随矩阵法

1

定理：矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而A」=^A*，(d=A=O)⑷

我们用(4)式来求一个矩阵的逆矩阵

G23'

例2.求矩阵A的逆矩阵A」：已知A=221

<343」

解：d=A=9+6+24-18-12-4=2=0

A11=2A12=-3A13=2

A21=6A22=-6A23

=2

A31=-4A32=5A33=-2

用伴随矩阵法，得

A」=

3

-3

1

-2、

5

2

j丿

说明：虽然这个公式对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩

阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。

方法三.矩阵分块求逆法

在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，每一小块是一小矩阵，这

样一方面对小矩阵进行运算，一方面每一小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算，

求出矩阵的逆矩阵。

引出公式：设T的分块矩阵为：TriaB,其中T为可逆矩阵，则

ICD丿

斗+A^B(D-CA^B)_lCAJ_B(D—CA^B)—

T=44444

(-(D-CAB)CA(D-CAB)

说明：关于这个公式的推倒从略。

‘1003、

0104

例3.求下列矩阵的逆矩阵，已知W=

0012

13425」

解：将矩阵W分成四块，设

(5)

q00、

A=010,B=4

e0b

J

(D—CA」B)=(-24),

即

于是

,C=342,D=5,

..1

(D-CA

B)

=(-方)

A」B=B=4,CA~*=C=3

利用公式（5）,得

15

-12

-6

<3

方法四•因式分解法若Ak

=0,即（E-A）可逆,我们通

过上式（6），求出例4.求

下面矩阵的逆矩阵，

WJ=24

-12

8

-8

4

-6

-8

20

2

3?

4

2

-b

且有

AA

已知：

(E_A)』=EAA2AK

」，(6)

卩-1

2

-34

*

01

-1

2

-3

A=

001

-1

2

J

0001

-1

e

000

1

丿

解：因为存在一

个

KA

0,

使(E-A)K=0，把这里

的

E+(E-A)+(E-A)2

十…

+

(E

-A)KJ

q

-12-34、4

01

-1

2

-3

通过计算得（E-

A）4

=

001

-1

2

=0,

0001

-1

<0

000

1丿

即K=4

（E-A）替换（6）式中的“A”，得A-1

所以AU=E+(E-A)+(E-A)2+(E-A)3

『

1

000

0■

0

1

-23-4'

01000001

-23

=

00100

+

0001

-2

<0000

1

」

<

0

000

0

>

卩1-1

0

1

011

-1

0

=

0011

-1

00011

000

1

方法五.多项式法

我们知道，矩阵A可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式f(R),满足f(A)=O,

用这个知识点也可以求出逆矩阵。

广2-「

例5.已知矩阵A=“，且A满足多项式f(R)=X2-5X+3E

I一33丿

A是可逆矩阵，并求其可逆矩阵证：由A2-5A3E=0，可得

15

A(AEHE

33

从而可知A为可逆矩阵，并且

利用消元解法求

X1i

X

i=

x

2i(i=

1,2,

3)

解得:

即A2-5A•3E=0试证明

-1

「1

3(-3

1

3

2

3

方法六.解方程组法

在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式应元素

相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。

，Z123'

例6.求A=221的逆矩阵

<343

」

AA，二E两端对

解：求可逆矩阵A的逆矩阵R,贝U它满足AR=E设=(X1,X2,X3)，则

AX1AX

2AX3

13-2

-3_35

22

,011-1

方法七.准对角矩阵的求逆方法

A22

A」=X=

疋乂：形如A=

,Ai是矩阵i=1,2,…n。

1°

A称为准对角矩阵。

其求逆的方法：可以证明：如果

则准对角矩阵也可逆，且

A110・・・0、0…

0

“

0A22

…00

A亠…

A22

0

■・

・-■-…---………

<00

・・・

AnnJ<0

0…

'4

00

0

'

03-20

例

7.

已知A=，求A」。

01

5

0

00

一

5丿

'3

解：设A=4A22

A

22

求得：A：

_丄

17

Al,A22,…,Ann都可逆,

0

而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。

例8.已知A—E，求A11，其中A二解：

对已知矩阵等式A^E进行恒等变形，得

A6EA6二A6・A6二A•A11E

于是，A11二A」，又因为A是正交矩阵，A，二AT，所以

A11_A」—AT_22

r—f—f—f-

<3丄

122」

方法九.公式法利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。

f

a1

f

d

_

b

>

1)二阶矩阵求逆公式(两调一除)：若A=，则A」

=^db

2d丿|Al-ca丿

2)初等矩阵求逆公式:

曰=Eij

41

E「(k)二Ej(-)

k

E「(k)二Ej(-k)

3)对角线及其上方元素全为1的上三角矩阵的逆矩阵

11…11

A=0

1…

11的逆矩阵为:

<0

0…

0

1

」

么计0

所以A」=0A22

00

方法八.恒等变形法

4

0

0

0

000

52

0

1717

1

3

0

1717

100

5

有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,

但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。

0

2

,3

-10…

0

0

、

01

_1…

00

A±=…

---

……・・・■一

00

0…

11

3

0

0…

0

1

4)止父矩阵的求逆公式：

若A为正交矩

阵,

则

AA=AT

5)其他常用的求逆公式：(AB)，=B’A，(AT)，=(A')T(A*)'=(A，)*=A’A

A,A2,A3,,As可逆，贝U(AAAs)'=A1A^例9.已知：

广1

0

0'

1

r

A=010，B=011，求(AB)-1。

0b0b

解：由于A是初等矩阵，由公式得：A」二A

'1-10、

B°=01-1，再由公式得:

1°01

」

『1

-1

01

1

0

0、

0

~r

(AB)x=01_1l001=0-11

<00

1丿

<011」<010」

到此为止，我已介绍了9种求逆矩阵的方法，除此外还有求正定矩阵的逆矩阵的三角阵法，由于

其方法不是很简便，在此略。这些方法各有所长，读者可根据实际情况进行选择。当然，

除此之外还有其它方法。希望能和大家在今后的学习中，共同研究出更方便，更有效的矩阵求逆方

法。

参考文献：

[1]高等代数/北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编。1988.3

[2]高等代数一题多解200例/魏献祝编福建人民出版社。

[3]线性代数学习指导/戴宗儒编科学技术出版社。

[4]线性代数解题方法技巧归纳/毛纲源编华中理工大学出版社。

⑸数学手册/《数学手册》编写组编

而B为元素都为1的上三角矩阵，由公式得: