1
单位载荷法
当弹性体上仅作用一个广义力，而且所求位移为其相应位移时，才可能直接
利用功能原理计算弹性体的位移。现在介绍计算弹性体位移的一个一般方法－－
单位载荷法。为叙述方便，以梁为例进行推证。
一、公式的建立
图1a所示梁，承受载荷（广义力）F
1
,F
2
，…，F
n
作用，现在拟求梁轴上任
一点
A
的挠度f。为此，首先在图1b所示同一梁的
A
点，并沿所求位移的方向
施加一个数值等于1的力，即所谓单位力，然后，再施加载荷F
1
,F
2
，…，F
n
。
从图中可以看出，当施加实际载荷时，已加之单位力在相应位移f上作功。这样，
利用加载过程中的功能关系即可确定位移f。
F
1
F
2
∆
2
∆
1
F
n
F
1F
2
F
n
∆
n
A
1
f
∆
1
∆
n∆
2f
δ
A
(a)
(b)
1
2
图1
首先分析在上述加载过程中外力所作之功。
设单位力作用在梁上时，挠曲轴位于图1b中的位置1，
A
点的挠度为δ；
当实际载荷作用后，挠曲轴由位置1变化到位置2，载荷F
1
,F
2
，…，F
n
作用处
的相应位移（广义位移）分别为∆
1
,∆
2
，…，∆
n
。由于先加单位力，后加实际载
荷，因此，外力所作之功为
f
∆F
δ
W
n
i
ii×++
×
=∑
=
1
22
1
1
式中，右边第三项1×f代表已加之单位力在位移f上所作之功，因属常力作功，
故不必除2。
现在研究单位力与实际载荷作用时梁的应变能。
设单位力作用时梁内x截面的弯矩为)(xM（图2a），实际载荷作用时梁内
同一截面的弯矩为M(x)（图2b），因此，当单位力与实际载荷同时作用时，x截
面的弯矩为
)()()(xMxMxM+=
总
由此得梁在位置2时的应变能为
∫∫∫∫++==
llll
x
EI
xM
x
EI
xMxM
x
EI
xM
x
EI
xM
V
2
2
2
ε
d
2
)(
d
)()(
d
2
)(
d
2
)(
总
2
F
1
F
2
∆
2
∆
1
F
n
∆
n
A
1
δ
A
(b)
(a)
x
x
图2
根据功能原理可知，在上述加载过程中，外力所作之功W，数值上应等于应
变能V
ε
，即
x
EI
xM
x
EI
xMxM
x
EI
xM
f
∆Fδ
lll
n
i
iid
2
)(
d
)()(
d
2
)(
1
22
12
2
1
∫∫∫
∑++=×++
×
=
(a)
由图2a与b还可以看出，
∫=
×
l
x
EI
xMδ2
d
2
)(
2
1
∫
∑=
=
l
n
i
iix
EI
xM∆F2
1
d
2
)(
2
将以上关系代入式(a)，于是有
∫=×
l
x
EI
xMxM
fd
)()(
1(b)
并由此得
A
点的挠度为
∫=
l
x
EI
xMxM
fd
)()(
(c)
由式(b)与(c)可知，如果由上式求得的位移f为正，则说明单位力在位移f
上作正功，即位移f与所加单位力同向。反之，则所求位移与所加单位力反向。
同理，如果要计算梁上某截面的转角θ，则只需在该截面施加一个矩为1的
力偶，即所谓单位力偶，然后按上述推导方法，即可求得转角为
∫=
l
x
EI
xMxM
d
)()(
θ
式中，)(xM代表单位力偶在梁内引起的弯矩。
二、单位载荷法的一般公式
综上所述，梁的挠度与转角的计算公式可统一写成为
∫=
l
x
EI
xMxM
d
)()(
∆（1）
3
式中，∆或为挠度或为转角，而)(xM则相应地为单位力或单位力偶引起的弯矩。
同样可以证明，杆件组合变形时的位移为
x
EI
xMxM
x
GI
xTxT
x
EA
xFxF
lll
d
)()(
d
)()(
d
)()(
t
N
N∫∫∫++=∆（2）
式中：)(
N
xF，)(xT与)(xM分别为单位载荷引起的轴力、扭矩与弯矩；而)(
N
xF，
)(xT与)(xM则分别为实际载荷引起的轴力、扭矩与弯矩。
对于桁架与轴，由式（2）分别得
∑
=
=
n
i
ii
i
i
i
AE
lFF
∆
1
N
N（3）
x
GI
xTxT
l
d
)()(
t
∫=φ（4）
以上所述分析位移的方法称为单位载荷法，在工程中得到广泛应用。
应该指出，以上关于单位载荷法的论证与所得各公式[即式（1）~（4）]，仅
适用于线性弹性体。实际上，单位载荷法不仅可用于分析线弹性问题，也可用于
非线弹性以及非弹性问题，它是一个应用范围极广的方法。
本文发布于:2022-11-13 02:31:08，感谢您对本站的认可！
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