矩阵合同和相似

目录之迟辟智美创作

摘要I

引言1

1矩阵间的三种关系1

1.1矩阵的等价关系1

1.2矩阵的合同关系1

1.3.矩阵的相似关系2

2矩阵的等价、合同和相似之间的联系3

3矩阵的等价、合同和相似之间的区别5

结束语6

参考文献6

摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举

足轻重的位置.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的

标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.根据等价、合同和相似的联系的

研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利

用正交相似与正交合同的一致性，获得二者间彼此的转化．

关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件

引言：

在高等代数中，讨论了矩阵的三种分歧关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似

和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的界说，性质，相关定

理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必

为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似

与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变

量.

1矩阵间的三种关系

1.1矩阵的等价关系

界说1两个sn矩阵,AB等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的

n阶矩阵Q，使BPAQ

由矩阵的等价关系，可以获得矩阵A与B等价必需具备的两个条件：

（1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.

（2）存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使得BPAQ.

性质1

（1）反身性：即

AA

.

（2）对称性：若

AB

，则

BA

（3）传递性：即若

AB

，BC，则AC

定理1若

A

为mn矩阵，且()rAr，则一定存在可逆矩阵

P

（m阶）和

Q（n阶），使得

0

00

r

mn

I

PAQB











.其中

r

I为r阶单元矩阵.

推论1设AB、是两mn矩阵，则

AB

当且仅当()()rArB.

1.2矩阵的合同关系

界说2设,AB均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵

p，使得TPAPB,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交

矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必需同时具备的两个条

件：

(1)矩阵A与B不单为同型矩阵，而且是方阵.

(2)存在数域p上的n阶矩阵p,TPAPB

性质2

（1）反身性：任意矩阵A都与自身合同.

（2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.

（3）传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.

因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由界说可以直接推得：合同矩阵的秩

等.

定理2数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.

定理3复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准

形：

222

12r

fyyy

1.3.矩阵的相似关系

界说3设,AB均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使

得BAPP1,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称

A与B为正交相似矩阵）

由矩阵的相似关系，不难获得矩阵A与B相似，必需同时具备两个条件

(1)矩阵A与B不单为同型矩阵，而且是方阵

(2)在数域p上n阶可逆矩阵P，使得BAPP1

性质3

(1)反身性TAEAE;

(2)对称性由TBCAC即得11

TACBC;

（3）传递性

111

TACAC和

2212

TACAC即得

21212

TACCACC

总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次

型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.

(4)111

11221122

()PkAkAPkPAPkPAP（其中

12

,kk是任意常

数）；

(5）111

1212

()()()PAAPPAPPAP；

(6）若A与B相似，则mA与mB相似（m为正整数）；

(7)相似矩阵有相同的秩，而且，如果1BPAP为满秩矩阵，那么

11111()BPAPPAP.

即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.

(8）相似的矩阵有相同的行列式；

因为如果1BPAP，则有：11BPAPPAPA

(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不成逆；而且当它们可逆时，它们的逆矩

阵相似；

设1BPAP，若B可逆，则11111()BPAPPAP从而A1B与

1A相似.

若

B

不成逆，则1()PAP不成逆，即

A

也不成逆.

下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理

定理4相似矩阵的特征值相同.

推论3相似矩阵有相同的迹.

2矩阵的等价、合同和相似之间的联系

（1）由以上三种矩阵间的关系的界说，可以知道每一种矩阵关系存在所必

需具备的条件，可是这三种关系彼其间存在着密切的联系

定理5相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．

证明：设n阶方阵,AB相似，由界说3知存在n阶可逆矩阵

1

P，使得

1

11

PAPB，此时若记1

1

PP,

1

QP,则有PAQB,因此由界说1获得n阶方阵

,AB等价

反过来，对矩阵

100

010

A









,

121

010

B









等价，可是A与B其实不相

似，即等价矩阵未必相似．

定理6对n阶方阵,AB，若存在n阶可逆矩阵,PQ使PAQB,(即A与B等

价)，且PQE(E为n阶单元矩阵)，则A与B相似．

证明：设对n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵,PQ,使PAQB,即A与B等

价．又知

PQE

,若记1

1

PP,那么

1

QP

,也即1

11

PAPB,则矩阵,AB也相似．

定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．

证明：设n阶方阵

,AB

合同，由界说2有，存在n阶可逆矩阵

1

P，使得

11

TPAPB，若

记

1

TPP,

1

QP,则有

PAQB

因此由界说1获得n阶方阵

,AB

等价

反过来对矩阵

10

01

A









,

12

01

B









等价，可是A与B其实分歧同，即等价矩阵

未必合同．

定理8正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．

证明：若存在一个正交矩阵P,即TPPE使得1PAPB即~AB，则有

1TBPAPPAP，即A与B合同.

同理，若存在一个正交矩阵P，即TPPE使得TPAPB即A与B合同，则有

1~TBPAPPAPAB

由此可得

1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立

2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.

（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性

和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A与B

正交相似，则它们既是相似也是合同的．对相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，

定理9如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合

同．

证明：设A与B的特征根均为

n

,,

21

因为A与n阶实对称矩阵，则一定存在一

个n阶正交矩阵Q使得



































n

AQQ







.

.

2

1

1同理，一定能找到一个正交矩阵P

使得



































n

BPP







.

.

2

1

1从而有BPPAQQ11

将上式两边左乘P和右乘1P,得1

1

1

1

111







QPAQPQPAQPPQB

由于TQQE

,TPPE,1PPE

有1111111

TTT

TQPQPPQQPPEPPPE,所以，1PQ

是正交矩阵，由

定理8知A与B相似．

定理10若n阶矩阵A与B中只要有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同．

证明：无妨设A是正交矩阵，则A可逆，取UA,有

111UABUAABAAABABA，则AB与BA相似，又知A是正交阵，所以AB与

BA既相似又合同．

定理11若A与B相似且又合同，C与D相似也合同，则有

















C

A

0

0

与

















D

B

0

0

既相

似又合同．

证明:因为A与B,C与D相似，故存在可逆矩阵

1

P,

2

P，使11

1122

,PAPBPCPD,令

1

2

0

0

P

P

P









,则

1

1

1

1

2

0

0

P

P

P















且1

00

00

AB

PP

CD











,故

















C

A

0

0

与

















D

B

0

0

相似．

又因为A与B合同，C与D合同,故存在可逆矩阵

12

,QQ,

122

,TTQAQBQCQD

令1

2

0

0

Q

Q

Q









而1

2

0

0

T

T

T

Q

Q

Q









11

11

22

22

00

00

00

00

00

00

TT

T

TT

QQ

AA

QQA

QQ

QQ

CC

QQC





















11

22

0

0

0

0

T

T

B

QAQ

D

QCQ















故

















C

A

0

0

与

















D

B

0

0

合同．

3矩阵的等价、合同和相似之间的区别

1、矩阵等价：a.同型矩阵而言

b.一般与初等变换有关

c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的实质是秩相等

2、矩阵相似：a.针对方阵而言

b.秩相等是需要条件

c.实质是二者有相等的不变因子

3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵

b.秩相等是必需条件

c.实质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同

由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是

可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关

系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反

之不成立.相似与合同不成互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等

变换变得；相似纷歧定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在

分歧基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.

结束语：

矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包括着联系，

又蕴涵着分歧.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵纷歧定是相似矩阵

也纷歧定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一

致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角

化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.

参考文献：

[1]张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出书社,1983.

[2]姚慕生.高等代数学[M].复旦：复旦年夜学出书社,1999.

[3][M].北京：高等教育出书社，1988.

[4][M].北京：科学出书社，2006.

[5]同济年夜学教研室.线性代数[M].北京：高等教育出书社.，2001.

[6][M].重庆：重庆年夜学出书社.，1994.