广义积分收敛

第九章广义积分习题课

一、主要内容

1、基本概念

无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。

2、敛散性判别法

Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判

别法。

3、广义积分的计算

4、广义积分与数项级数的关系

5、广义积分敛散性的判别原则和程序

包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义

既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于

计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法

可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy

判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和

Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。

对具体广义积分敛散性判别的程序：

1、比较法。

2、Cauchy法。

3、Abel判别法和Dirichlet判别法。

4、临界情况的定义法。

5、发散性判别的Cauchy收敛准则。

注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy法所起作用基

本相同。

注、在判断广义积分敛散性时要求：

1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。

2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。

3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。

二、典型例子

下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。

例1判断广义积分





0

qpxx

dx

I的敛散性。

分析从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。

解、记



1

0

1

qpxx

dx

I，





1

2

qpxx

dx

I

对

1

I

，先讨论简单情形。

qp时，1p时收敛，1p时发散。

qp，不妨设qp，则

1

0

1)1(pqpxx

dx

I

，故，0p时为常义积分，

此时收敛。0p时，由于

1

)1(

1

lim

0





pqp

p

xxx

x

因此，

1

I

与p积分同时敛散，即1p时收敛，1p时发散。

因此，对

1

I

，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。

上述结论也可以总结为：min{p,q}<1时收敛，min{p,q}1³时发散。

对

2

I，类似可以讨论，即qp时，1p时收敛，1p时发散。

qp，不妨设qp，则





1

2)1(qpqxx

dx

I

，由于

1

)1(

1

lim





qpq

q

xxx

x

因此，

2

I与p积分同时敛散，即1q时收敛，1q时发散。

此时，广义积分

2

I的敛散性完全由分母中的高阶项决定。

上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}1£时发散。

综上：

pqqp11或

时收敛，其余发散。或者为：min{p,q}<1

时收敛，其余时发散。

例2讨论

2

1

sin()

m

x

x

Idx

x





的绝对收敛和条件收敛性，其中m>0。

分析积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身

有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得

收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。

解：先分析绝对收敛性，由于

1

sin()

1

||

mm

x

x

xx





，

故，m>1时，广义积分绝对收敛。

当01m时，利用配因子法验证积分片段的有界性，

22

22

A

2

22

1111

|sin()||(1)sin()|

111

|sin()()|

AA

A

xdxxdx

xxxx

xdxdxM

xxx









由Dirichlet判别法，广义积分收敛。

由于

2

111

sin()2sin()1cos2()

2||

mmm

xxx

xxx

xxx





，

而类似可以证明

2

1

cos2()

m

x

x

dx

x





收敛，

2

1

m

dx

x

发散，因而，

2

1

|sin()|

m

x

x

dx

x







发散，故01m时，广义积分条件收敛。

注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。

注、不能将积分分成如下两部分

2

1

sin()

m

x

x

Idx

x





＝

22

sin1cos1

cossin

mm

xx

dxdx

xxxx

，

通过右端两部分的收敛性得到I的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，

才成立上述的分解结论。

例3讨论dx

x

x

I

m



0

)1ln(

的敛散性。

分析从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln（1＋x）的当0x和x

时的性质，进行阶的比较。

解、记dx

x

x

I

m



1

0

1

)1ln(

，dx

x

x

I

m



1

2

)1ln(

。

对

1

I

，由于

1

)1ln(

lim1

0







m

m

xx

x

x，

故，当11m-<，即2m<时，

1

I收敛；当2m时，

1

I发散。

对

2

I

，利用已知的结论：0

)1ln(

lim,0











x

x

x

，则















mp

mp

l

x

x

x

m

p

x,

,0

)1ln(

lim

，

当1m时，取p使得mp1，则

0

)1ln(

lim





m

p

xx

x

x

故

2

I收敛。

当1m时，取1p，则







m

xx

x

x

)1ln(

lim

故

2

I发散。

因而，当21m时，I收敛；21mm或时I发散。

例4讨论

sin

0

sin2xex

Idx

xl

+?

=ò的敛散性，其中0l>。

分析分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积

分，可以用比较判别法或Cauchy判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于

被积函数是变号函数，因此，应该用Abel判别法或Dirichlet判别法。

解：记dx

x

xe

I

x1

0

sin

1

2sin



，dx

x

xe

I

x

1

sin

2

2sin



对

1

I

，当2i.e,11时，

e

x

xe

x

x

x

2

2sin

lim

sin

1

0







故，

1

I

收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。

当2i.e,11时，

e

x

xe

x

x

x

2

2sin

lim

sin

1

0







故，

1

I

发散。

对

2

I

，由于

x

e

x

xex



2sinsin

，

故当1

时，

2

I（绝对）收敛。

当10

时，由于，对任意1A，

222sinsin

1sin1

sindttedxxeA

t

A

x

且当x时，

x

1

单调递减趋于0，由Dirichlet判别法，

2

I收敛。

又，此时



















x

x

x

e

x

x

e

x

x

e

x

xex4cos1

2

2sin2sin2sin12

11

sin

且＋＋

发散，

11

4cos1

dx

x

x

dx

x

收敛，因此，

x

e

dx

x

xex

2sinsin

1

发散。

因而，当10

时，

2

I条件收敛。

综上，

条件收敛时绝对收敛；时，II,1021；发散。时，I2

例5讨论

0

sindxxxIqp的敛散性，其中p、q非负。

分析从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理

的是因子qxsin，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技

巧是先易后难。

解、先考虑最简情形：0q时的情形。

记1

0

1

)(dxxpIp，

1

2

)(dxxpIp，此时，

)(

1

pI

、

)(

2

pI

分别是无界函数

和无穷限广义积分，因此，1p时，

)(

1

pI

收敛；1p时，

)(

1

pI

发散；

而对

2

I

，1p时

)(

2

pI

时收敛，1p时

)(

2

pI

发散，故0q时，I发散。

当

0q

时，令qxt，

q

qp



1

，则

tdtt

q

Iq

qp

sin

1

0

1



＝















1

1

0

sinsin

1

tdtttdtt

q



对1

0

1

sintdttI，由于1

sin

lim

1

0









t

tt

t

，故

1

I与dtt

1

0

1同时敛散。因而，

2,1)1(ie时，

1

I

（绝对）收敛；2

时，

1

I

发散。

对

1

2

sintdttI，由于tttsin，故，1

时，

2

I绝对收敛；当

01

时，由Dirichlet判别法，

2

I（条件）收敛。

当0

时，利用周期函数的积分性质，则







0

2

2

2sinsintdttdttn

n

因而，由Cauchy收敛准则，

2

I发散。

综上：0q时，I发散；0q时，0

1

1





q

p

－时，I绝对收敛；

1

1

0





q

p

时，I条件收敛；

q

p1

1





时，I发散。

注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要

矛盾。

注、也可以用配因子法处理。

下述的例子用阶的分析法。

例6讨论dx

x

x

I

















0

3

1

1)

sin

1(的敛散性。

分析首先将积分分段处理，记dx

x

x

I













1

0

3

1

1

1)

sin

1(，

dx

x

x

I

















1

3

1

2

1)

sin

1(。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理

的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。

对

1

I

，分析奇点附近被积函数的阶。由于

)(

!3

1

sin

,)(

!3

sin2

2

3

3

xo

x

x

x

xo

x

xx，

因而，

12

33

sin

(1)

x

x

x

---:，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。

对

2

I，对被积函数作阶的分析，由于x充分大时

sin

1

x

x

<<，因此，利

用函数展开理论得

)(01)1(2xxx,)1,1(x，

由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散性。

解、记dx

x

x

I













1

0

3

1

1

1)

sin

1(，dx

x

x

I

















1

3

1

2

1)

sin

1(。

对

1

I，利用L’Hosptial法则，

2

0

sin

1

1

lim

6x

x

x

x+®

-

=，

因而，

211

333

0

sin1

lim(1)()

6x

x

x

x+

--

®

-=，故，

1

I收敛。

对

2

I由于

)1(,1

sin

x

x

x

，则

)

sin

(0

sin

3

1

1)

sin

1(

2

2

3

1

x

x

x

x

x

x



其中

22

2

)

sin

(0

x

C

x

x



，因而

2

2

1

sin

)

x

odx

x

¥ò＋

（收敛，又由于

1

sin

dx

x

x

条件

收敛，故

2

I

条件收敛。

因此，I条件收敛。

注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个

有效的方法。

例7dx

x

x

x

I





11

cosln

)

1

sin1ln(





（0

）。

分析：这是无穷限广义积分，分析x时被积函数的性质，此时

0

1

sin

x

，故

xxx

1

~

1

sin~)

1

sin1ln(，

又)

1

(

2

1

1

1

cos

32x

o

x

x

，故

)

1

(

2

1

1ln(

1

cosln

32x

o

x

x



2

1

~

x

所以

2

1

~

1

cosln

)

1

sin1ln(











x

x

x

x

，证明过程就是验证上述函数关系。

解、由于

x

x

x

x

x

x

x

x

xx1

cosln

1

1

)

1

sin1ln(

lim

|

1

cosln|

)

1

sin1ln(

lim

2

2



























2

cosln

lim

1

cosln

1

lim

2

0

2



t

t

x

xtx

因而，I与广义积分



1

2

1

dx

x

同时敛散。故3时，I收敛；3时，

I发散。

下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法。

例8证明：设)(xf、

),[)(axg在

上连续，)(xg单调且

0)(

12

CxgC

，

则

a

dxxf)(与

a

dxxgxf)()(同时敛散。

证明：若

a

dxxf)(收敛，由Abel判别法，

a

dxxgxf)()(收敛。

若

a

dxxgxf)()(收敛，则



a

dxxf)(＝

a

dx

xg

xgxf

)(

1

)()(

仍有

)(

1

xg

单调且

0

1

)(

11

21



CxgC

，由Abel判别法，则

a

dxxf)(收敛。

注、本命题结论非常简单，但命题中体现出来的思想非常有用。即在讨论

广义积分的敛散性时，分析被积函数的结构，抓住主要因素，解决主要矛盾，

略去次要因素，即将一个复杂的广义积分转化为较为简单的广义积分讨论其敛

散性。下面，通过一个例子，说明例8的作用。

例9讨论dx

x

xx

I

q

p





11

sin

)0(q的敛散性。

解、由于

q

qp

q

p

x

xx

x

xx









1

1

sin

1

sin

,

由于

qx1

1

非负单调且

2

1

1

1

1





qx

，因此，利用例8的结论，其与dx

x

x

pq



1

sin

同时敛散。因而，1pq时绝对收敛；10pq时条件收敛；0pq时

发散。

下面一个结论与例8具有类似的思想。

例10设函数f（x）、g（x）、h（x）定义在[,)a+?上且对任意有限的实

数A>a，它们都在[a,A]上可积，证明：若()()()fxgxhx＃且广义积分



a

dxxf)(、()

a

hxdx

+?ò都收敛，则()

a

gxdx

+?ò也收敛。

分析题目类似极限的两边夹定理，但是条件较弱，证明思路是通过条件

寻找它们之间的关系，利用性质或定义或比较法进行判断。

证明：由所给的关系式，则

0()()()(gxfxhxfx??，

由条件和广义积分性质，则(()())

a

hxfxdx

+?

-ò收敛，由比较判别法，则

(()())

a

gxfxdx

+?

-ò收敛，由于()()()()gxgxfxfx=-+，再次利

用积分性质，则()

a

gxdx

+?ò收敛。

注、例10结论表明，对待考察的广义积分的被积函数进行适当的估计，去

掉一些次要因素的影响，由此得到收敛性，体现了研究广义积分收敛性的又一

思想。

注、尽管例8和例10体现的处理问题的思想类似，但是，由于例8是一个

等价的转化，得到的是同敛散的结论，因此，例8的结论比例10要好。

下面的命题用于处理另一类广义积分的敛散性。

例11设f(x)>0且单调递减，证明

a

dxxf)(与2()sin

a

fxxdx同时敛散。

证明：因为f(x)>0且单调递减，故lim()

x

fx



存在。

若lim()

x

fx



＝0，则由Dirichlet判别法，()cos2

a

fxxdx收敛。由于

22()sin

a

fxxdx＝

a

dxxf)(－()cos2

a

fxxdx

故，

a

dxxf)(与2()sin

a

fxxdx同时敛散。

若lim()

x

fx



＝b>0，此时

a

dxxf)(发散。由极限定义，存在A>a，使得x>A

时，

()0

2

b

fx

故，取n充分大，使得22

24

AnAnA





，则

2

1

()sin

8

A

A

fxxdxb



，

故，2()sin

a

fxxdx发散。因而，此时二者同时发散。

下面的例子用上述结论很容易处理。

例12讨论

2

sin

sinp

x

Idx

xx





的敛散性。

解、由于

2sinsinsin

sin(sin)pppp

xxx

xxxxxx





对

1

2

sin

p

x

Idx

x

，已知p>0时收敛，0p时发散。为讨论

2

2

2

sin

(sin)pp

x

Idx

xxx





的敛散性，注意到

22222

22

sinsinsinsin2sin

2(1)(sin)(1)pppppppp

xxxxx

xxxxxxxxx





故，

2

2

2

sin

(sin)pp

x

Idx

xxx





与

2

2

2

sin

p

x

dx

x

同时敛散，由例11，又与

2

2

1

p

dx

x

同

时敛散，即

1

2

p时收敛，

1

2

p时发散。

故，

2

sin

sinp

x

Idx

xx





当

1

2

p时收敛，

1

2

p时发散。

注、这类题目的讨论技巧性高，得到的结论也深刻。事实上，和

2

sin

p

x

dx

x



作对比可以发现，分母上增加因子sinx，深刻改变了其敛散性，使得收敛范围变

小。这也反映了广义积分敛散性的复杂性。

注、例12也表明了因子sinx的复杂作用，当它处在分子上时，可以充分

利用其本身有界和积分片段的有界性得到一些敛散性结论；但是，当这个因子

处在分母上时，其变号且非单调的性质起到了很大的作用，从而影响到了广义

积分的敛散性。也可以通过与例9的结论对比发现这些差异，例9中，分母为

1~qqxx，因子1不起作用，此例中，分母中的因子sinx起到了影响敛散性的

作用。

例13若

a

dxxf)(收敛，)(xf在),[a单调，则)

1

()(

x

oxf

)(x，

即lim()0

x

xfx

??

=。

分析要证明的结论表明，要研究的是被积函数的极限行为（)x，

即要控制当x充分大时的xf（x），而从广义积分的收敛性的条件能产生与被积

函数的无穷远处的行为有关的结论就是Cauchy收敛准则，因此，建立二者的桥

梁为Cauchy收敛准则。因此，证明的关键就是如何从Cauchy片段()

A

A

ftdt

ⅱ

¢

ò

中分离出xf（x），因此，必须通过选择与x有关的,AA

ⅱ?

达到目的，特别注意

f（x）可以由被积函数产生，即从积分号下把被积函数分离出来，而系数显然要

通过积分限产生。

证明：设)(xf单调递减，由

a

dxxf)(

收敛，则0)(xf。由Cauchy收敛

准则，存在充分大0

0

A，使得对任意

012

AAA，成立

2

1

()

A

A

ftdte<ò，

对任意

0

2Ax，取

2

,

12

x

AxA，则

2

()

x

x

ftdte<ò，

利用函数的单调性，则，

2)(xxf，

故，0)(lim



xxf

x

。

类例：若1

0

)(dxxf收敛，



)(lim

0

xf

x

，则0)(lim



xxf

x

。

注、此结论比讲义中的结论更强。

注、作为最简单的广义积分――p－积分，揭示了广义积分收敛的本质，

即x时，被积函数趋于0的速度高于一阶时，广义积分收敛。本题说明：

在一定的条件下，上述条件还是必要的。

注、更进一步还有:若

a

dxxf)(收敛，)(xxf单调递减，则

0ln)(lim



xxxf

x

。事实上，对充分大的x，由Cauchy收敛准则，

x

x

x

x

x

x

xxxfdt

t

xxfdt

t

ttfdttfln)(

2

11

)(

1

)()(

。

结论说明，此时f（x）趋于0的速度比

1

lnxx

趋于0的速度还大。

注、成立更一般的结论：设)(xf在(0,1]单调，且

1

0

()pxfxdxò收敛，

则

1

0

lim()0p

x

xfx

+

+

®

=。

例14设若)(xf在),[a上有连续导数且)(xf单调递减趋于0（x），

证明

a

dxxf)(收敛的充要条件是

a

dxxfx)(收敛。

分析从要证明的结论看，建立两个广义积分的联系的桥梁是分部积分法，

即()()|()

AA

A

a

aa

fxdxxfxxfxdx

¢

=-蝌。从此关系式看，要证明结论关

键是解决极限lim()

x

xfx

??

的存在性。

证明：必要性。若

a

dxxf)(收敛，则由例13，

0)(lim



xxf

x

，

因而，



A

aa

A

a

A

a

dxxfaafdxxfxxfdxxfx)()()(|)()(，

故，

a

dxxfx)(收敛。

充分性。由于0)(lim



xf

x

，下面利用

a

dxxfx)(的收敛性研究极限

lim()

x

xfx

??

的存在性，由于

()()(())(())

xxx

xfxxftdtxftdtxftdt+???ⅱ?

==-=-蝌?









xx

dttftdttft)())((

由

a

dxxfx)(收敛，则0)(lim



xxf

x

。

又，同样成立



A

a

A

a

A

a

dxxfxxfdxxfx)(|)()(

，

因而

a

dxxf)(

收敛。

注、证明过程中，用到了结论：若()

a

fxdx

+?ò收敛，则

lim()0

A

A

fxdx

+?

??

=ò。

事实上，记()

a

fxdx

+?ò＝I，则

lim()lim[()]

A

AA

Aa

fxdxIfxdx

+?

?ギ+?

=-=蝌。

例15证明：若)(xf在),[a上有连续导数且

a

dxxf)(、

a

dxxf)(都收

敛，则0)(lim



xf

x

证明：由收敛性定义，对任意aA，



a

dxxf)(＝)]()([lim)(limafAfdxxfA

a

AA







因而，)(limxf

A

存在，又

a

dxxf)(收敛，则必有0)(lim



xf

x

。

注、也可以用Cauchy收敛准则证明。但本题采用定义证明更简单，因此既

要掌握处理某一类型问题的一般原则，又要学会灵活应用。

注、此例还说明，对数项级数成立的收敛性的必要条件对广义积分并不成

立，必须增加一定的条件才能保证其成立。

例16证明：若非负函数)(xf在),1[单调减少，则

1

)(dxxf与数项级数



1

)(

n

nf

同时敛散。

分析本题要求在两种不同形式间进行比较，处理这类问题的思想方法是

形式统一法，将积分转化为和式即

1

)(dxxf







1

1)(

n

n

n

dxxf

，由此看出，命题

的证明实际就是比较1)()(n

n

dxxfnf与的关系。

证明：由于0)(xf且)(xf在),1[单调减少，故

]1,[,)1()()(nnxnfxfnf

因而

111)1()1()()()(n

n

n

n

n

n

nfdxnfdxxfdxnfnf

故，

















n

k

n

n

k

kfdxxfkf

1

1

1

1

2

)()()(

，

因而，

1

)(dxxf与数项级数

1

)(

n

nf

同时敛散。

例17设)(xf在任意有限区间],[Aa上可积且0)(lim



xf

x

，

Adxxfn

a

n





)(lim，证明：

a

dxxf)(＝A。

分析从条件和结论很发现证明的思路。

证明：由0)(lim



xf

x

和Adxxf

n

a

n





)(lim，则对任意0

，存在0N，

使得当NnNx和时，

n

a

Adxxfxf)(,|)(|

对任意1NM，存在nN>，使得1nMn?+，故

M

a

n

a

n

a

M

a

AdxxfdxxfdxxfAdxxf)()()()(

2)(

)(|)(|





nM

AdxxfdxxfM

n

n

a

故，

a

dxxf)(

＝A。

下面给出几个广义积分的计算题目。

关于广义积分的计算，基本思路和方法是利用N-L公式、分部积分、极限

运算。技巧是选择合适的变量代换。

例18（Frullani积分）证明：若),0[)(Cxf且对任意0A，广义积分



A

dx

x

xf)(

收敛，则

a

b

fdx

x

bxfaxf

Iln)0(

)()(

0







分析解题思想是将待计算的未知的积分转化为已知的积分，手段是利用

变量代换。事实上，已知的是积分形式

A

dx

x

xf)(

，待计算的量是形式

0

()()faxfbx

dx

x

+?-ò，因此，可以利用极限将两种形式，也将已知和未

知的量联系起来。

证明：对任意的0

，则

dt

t

tf

dx

x

axf

a

axt







)()(

；

同样，dt

t

tf

dx

x

bxf

b

bxt







)()(

。因而，

dx

x

xf

dx

x

bxfaxf

Ib

a





















)(

lim

)()(

lim

00

利用积分中值定理，











b

aa

b

fdx

x

fIln)0(

1

)(lim

0

。

例19证明：dtabtf

a

dx

x

b

axf

a

)4(

1

)(

0

2，

其中0,0ba，积分有意义。

分析从证明的结论中可以发现所应该采取的方法和手段，即应该是选择

一个合适的变换，使得abt

x

b

ax42，从这一关系式中可以发现，变换不

唯一。

证明：令t

x

b

ax，则abt

x

b

ax42

且

dt

abt

abtt

a

dxabtt

a

x

4

4

2

1

),4(

2

1

2

2

2





，故

dt

abt

abtt

abtf

a

dx

x

b

axf

4

4

)4(

2

1

)(

2

2

0

2









dt

abt

abtt

abtf

a

4

4

)4(][

2

1

2

2

0

2

0







，

又









dt

abt

abtt

abtf0

2

2

2

4

4

)4(dt

abt

tabt

abtf







0

2

2

2

4

4

)4(

，

由此可证明命题。

注、也可以取

b

axt

x

-=，此时

2

1

(4)

2

xttab

a

=++。

例20计算





0

21

ln

dx

x

x

I。

分析这类题目是无法直接计算出来的，常用的技巧是分段，选择适当的

变量代换，在两个积分段之间寻找连续。

解、由于









1

0

2

1

1

21

ln

1

ln

dx

x

x

dx

x

xx

t

，而二者都收敛，故，











1

2

1

0

21

ln

1

ln

dx

x

x

dx

x

x

I＝0。

例21证明





0

2)1)(1(

1

dx

xx

I



)0(与无关。

证明：由于









1

0

2

1

1

2)1)(1()1)(1(

1

dt

tt

t

dx

xx

x

t







因而













1

1

0

22

1

0

21

1

)1)(1(

1

)1)(1(

1

dt

t

dx

xx

dx

xx

I



故其与无关。

下面讨论广义积分和无穷和的极限的关系。

例22设)(xf在（0，1]单调，x=0为其奇点，广义积分

1

0

()fxdx收敛，证

明：

1

0

()fxdx＝

1

1

lim()

n

n

k

k

f

nn



。

分析与例16类似，将积分转化为有限和，进而考察相互的关系。

证明:设)(xf在（0，1]单调递增，则

1

1

1

()()()

kk

nn

kk

nn

k

fxdxffxdx

nn





,

因而，利用

1

0

()fxdx的收敛性，则

1

0

()fxdx＝

1

1

111

111

()()()(1)

k

nnn

n

k

kkk

n

kk

fxdxfff

nnnnn











1

1

1

1

1

11

()(1)()(1)

k

n

n

k

k

n

n

fxdxffxdxf

nn









，

由此，命题得证。

注、由此可得

1

10

1

!

ln

ln

ln

1

!

limlimlim

n

n

k

k

n

n

xdx

nn

n

nnn

n

eeee

n











即：!~nnnen。

例23设对任意A>0，f(x)[0,]RA且lim()

x

fxa



，证明：

0

0

lim()tx

t

tefxdxa





。

分析题目中所给的定量条件只有lim()

x

fxa



，为了利用这个条件，仍然

可以利用形式统一方法对结论进行变形，从中可以看到要证明结论等价于

0

0

lim(())0tx

t

tefxadx





，

为利用条件，只需分段处理即可，即分别研究

0

(())A

txtefxadx、

(())(())txy

AtA

y

tefxadxefadt

t





的极限行为。

证明：因为lim()

x

fxa



，故存在M>0,使得x>M时，|()|1fxa；又

f(x)[0,1]RM，因而，f(x)有界C。

注意到

0

1txtedx

，故只需证明

0

0

lim|()|0tx

t

tefxadx





。

由于对任意0，存在A>0，使得x>A时|()|fxa，故

0

|()|txtefxadx

0

|()|A

txtefxadx＋|()|tx

A

tefxadx



00

()()(1)

()(1)

A

txtxtAx

A

tA

CatedxtedxCaeedx

Cae

















由于10,(t0)tAe，故，存在0,0t时，|1|tAe

Ca







，因而

0

|()|2txtefxadx



故，

0

0

lim|()|0tx

t

tefxadx





。

下面是一些判断题。

22、判断下列命题是否成立。

1）、设

)(xf

在任意区间

],[Aa

上可积，若对任意的0

、0B，存在

0

A，

使得对任意的

0

AA，都成立

BA

A

dxxf)(，则

a

dxxf)(收敛。

解：错。正确理解Cauchy收敛准则。

反例。如dx

x



1

1

，则对任意的0B都有

0)1ln(

1



A

B

dx

x

BA

A

，A

但dx

x



1

1

发散。

2）、设)(xf在任意区间],[Aa上可积，若

a

dxxxf)(收敛，则

a

dxxf)(

收敛。

解、正确。利用)(

1

)(xxf

x

xf和Abel判别法即可。

3）、若存在

n

x使得







1

1)(

n

x

x

n

n

dxxf

发散，则

a

dxxf)(发散。

解、正确。事实上，

a

dxxf)(收敛充要条件为对任意的

n

x，









1

1)(

n

x

x

n

n

dxxf

收敛。

证明：若

a

dxxf)(

收敛，

n

x，则由于

n

x

a

dxxf)(＝1)(x

a

dxxf＋





n

k

x

x

nk

k

dxxf

1

1)(

故







1

1)(

n

x

x

n

n

dxxf

收敛。

反之，若

a

dxxf)(发散，则存在0

0

和

nn

AA







,，使得

0

)(



n

n

A

A

dxxf

取

















12,

2,

knA

knA

x

n

n

n

，则

n

x且

0

1)(n

n

x

x

dxxf，故









1

1)(

n

x

x

n

n

dxxf

发散。

4）、设

a

dxxf)(收敛，下列条件能否保证0)(lim



xf

x

。

1、)(xf在),[a连续、恒正。

2、Cxf

x





)(lim存在。

3、)(xf单调。

4、)(xf在),[a一致连续。

5、)(xf在),[a连续可导。

6、)(xf在),[a上有连续的导数。

7、)(xf在),[a可导且

a

dxxf)(收敛。

解、1、不能。

反例：如























]

1

,

1

[1

4,3,2,1

1

,

1

[,0

)(

22

22

k

k

k

kx

x

k

k

k

kx

xf

，非负连续且



则

222

1

1

1

)1(

1

)1(

2

)1(

11

)()()(2

2kkk

dxxfdxxfdxxfk

k

k

k

k

k

k

k











故







1

1)(

n

n

n

dxxf

收敛，因而

1

)(dxxf

收敛，但0)(lim,1)(



xfnf

x

。

2、可以。若0C，不妨设0C，则存在0

0

A，使得

0

Ax时，

2

)(

C

xf，

因而对任意1

0

AA，

A

A

AA

C

dxxf

1

0

0

)1(

2

)(，与

a

dxxf)(收敛矛盾。

3、4、6、可以。可以转化为2。

5、不可以。可以通过例1的光滑化。

7、可以。因为

x

a

afxfdxxf)()()(，故Cxf

x





)(lim存在。

5）、若



A

A

A

dxxf|)(|lim存在，则



dxxf)(收敛。

解、正确。

此时，由于

AA

A

dxxfdxxf

0

|)(||)(|故

0

|)(|dxxf收敛。

同样，

0|)(|dxxf收敛。

6）、若)(xf为偶函数，



A

A

A

dxxf)(lim存在，则



dxxf)(收敛。

解、正确。

此时，

AA

A

dxxfdxxf

0

)(

2

1

)(。