数学期望和方差

.

1/10

期望与方差的相关公式

-、数学期望的来由

早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，

题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三

局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜

了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎

才比较公平？

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者

分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为

100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1若离散型随机变量可能取值为

i

a（i=1，2，3，…），其分布列为

i

p（i=1，

2，3，…），则当

i

i

i

pa

1

<时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=

1i

ii

pa，

如果

i

i

i

pa

1

=，则数学期望不存在。1

定义2期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，

n，…），则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.

期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.

二、数学期望的性质

（1）设C是常数，则E(C)=C。

（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。

（3）)E(X)E(X)XE(X

2121

。

三、方差的定义

前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，

是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的

.

2/10

平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是

方差的概念。

定义3方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.D

叫标准差，反映了ξ的离散程度.

定义4设随机变量X的数学期望)(XE存在，若]))([(2XEXE存在，则称

]))([(2XEXE

为随机变量X的方差，记作)(XD，即]))([()(2XEXEXD。

方差的算术平方根)(XD称为随机变量X的标准差，记作)(X，即

)()(XDX

由于)(X与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。

Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ

的取值越分散.

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于

其数学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，

则方差较大。若方差)(XD=0，则随机变量X以概率1取常数值。

由定义4知，方差是随机变量X的函数2)]([)(XEXXg的数学期望，故





























连续时当

离散时当

XdxxfXEx

pXEx

XD

k

k

kk

,)()]([

X,)]([

)(

2

1

2

当X离散时,X的概率函数为,2,1,)()(kPxXPxP

KKk

；

当X连续时，X的密度函数为)(xf。

求证方差的一个简单公式：

公式1：22)]([)()(XEXEXD

证明一：

22

22

2

)]([)(

])]([)(2[

]))([()(

XEXE

xEXXEXE

XEXEXD







.

3/10

证明二：2

1

()

n

ii

i

DxEp





22

1

22

111

222

22

[2()]

2()

2()()

()

n

iii

i

nnn

iiiii

iii

xxEEp

xpExpEp

EEE

EE

























22()DEE

可以用此公式计算常见分布的方差

四、方差的性质

（1）设C是常数,则D(C)=0。

（2）若C是常数,则)()(2XDCCXD。

（3）若X与Y独立，则

公式2：)()()(YDXDYXD。

证由数学期望的性质及求方差的公式得



)()(

)]([)()]([)(

)()(2)]([

)]([)()(2)()(

)]()([]2[

)]([])[()(

2222

2

222

222

22

YDXD

YEYEXEXE

YEXEYE

XEYEXEYEXE

YExEXYYXE

YXEYXEYXD













可推广为：若

1

X,

2

X，…，

n

X相互独立，则







n

i

i

n

i

i

XDXD

11

)(][







n

i

ii

n

i

ii

XDCXCD

1

2

1

)(][

（4）D(X)=0P(X=C)=1，这里C=E(X)。

五、常见的期望和方差公式的推导过程

（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明

.

4/10

1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

（1）pi≥0，i＝1，2，…；

（2）p1＋p2＋…＝1。

2．离散型随机变量期望和方差的性质：

E(a＋b)＝aE＋b，D(a＋b)＝a2D。

（1）公式3：E（aξ+b）=aEξ+b，

证明：令ab,ab为常数



也为随机变量

()()

ii

PaxbPx1,2,3...i

所以



的分布列为



1

axb

2

axb…

n

axb…

p

1

p

2

p…

n

p…

1122

()()...()

nn

Eaxbpaxbpaxbp

=

112212

(......)(......)

nnn

axpxpxpbppp

E=aEb

()EabaEb说明随机变量的线性函数ab的期望等于随机变量期

望的线性函数

（2）公式4：D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.

证法一：因为2

1

()

n

ii

i

DxEp





22

1

22

111

222

22

[2()]

2()

2()()

()

n

iii

i

nnn

iiiii

iii

xxEEp

xpExpEp

EEE

EE

























22()DEE

.

5/10

所以有：2222

11

()[()]()

nn

iiii

ii

DabaxbaEbpaxEpaD



证毕

证法二：Dξ=22222

1111

()2()()

nnnn

iiiiiii

iiii

xEpxpExpEpEE



.

E(aξ＋b)＝aEξ＋b，D(aξ+b)=a2Dξ．

2222

11

()[()]()

nn

iiii

ii

DabaxbaEbpaxEpaD





（二）二项分布公式列举及证明

1．二项分布定义：若随机变量的分布列为：P(＝k)＝Cn

kpkqn-k。（k＝0，1，2，…，

n，0＜p＜1，q＝1－p，则称服从二项分布，记作~B(n，p)，其中n、p为参

数，并记Cn

kpkqn-k=b(k；n，p)。

2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：

（1）P(＝k)＝Cn

kpkqn-k＞0，k＝0，1，2，…，n；

（2）



n

k0

P(＝k)＝



n

k0

Cn

kpkqn-k＝(p＋q)n＝1。

二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。

3．服从二项分布的随机变量



的期望与方差公式：

若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.

（3）公式5：求证：Eξ=np

方法一：

在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p（不发生的概率为q，有1pq），

那么在n次实验中该结果发生的次数的概率分布为



0

12

3

...

1n

n

P0n

n

Cq11n

n

Cpq222n

n

Cpq333n

n

Cpq...11nn

n

Cpqnn

n

Cp

服从二项分布的随机变量的期望Enp.证明如下：

.

6/10

预备公式1

1

kk

nn

kcnc





1(1)()110

11111

()(......)nnnnkknnknn

nnnnn

pqcpqcpqcpqcpqcpq





因为()(1),kknkkknk

nn

pkcppcpq

所以......nnnkknknn

nnnnn

Ecpqcpqcpqkcpqncpq

=(1)()110

11111

(......)nnnkknnknn

nnnnn

npcpqcpqcpqcpqcpq





=1()nnppqnp

所以E=np得证

方法二：证明：若),(~pnBX，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数，现

在我们来求X的数学期望。

若设









次试验失败如第

次试验成功如第

i

i

X

i0

1

i=1,2，…，n

则

12

...

n

XXXX，因为PXP

i

)1(，qPXP

i

1)0(

所以ppqXE

i

10)(，则

)(XE

npXEXE

n

i

i

n

i

i



11

)(][

可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np。

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。

公式6212

12

(1)kkk

nnn

kCnCnnC





21

1

kk

nn

kCknC





1

1

11

11

12

12

[(1)1]

(1)

(1)

k

n

kk

nn

kk

nn

nkC

nCnkC

nCnnC



















212

12

(1)kkk

nnn

kCnCnnC





求证：服从二项分布的随机变量



的方差公式7：Dξ=npq（q=1－p）.

方法一：

.

7/10

证明：22

0

n

iini

n

i

EiCpq





1112

12

22

11101222

112

12

11122

112

2

(1)

(1)

()(1)()

(1)

nn

niiniiini

nnn

ii

nn

niininiini

nnn

ii

nnnn

nn

CpqnCpqnnCpq

npqnpCpqnpCqnnpCpq

npqnppqnpqnnppq

npqnpnpqnnp

npnp































22

22

22

(1)

np

nppnp

npqnp







由公式1知22()DEE

222()npqnpnp

npq





方法二：设~(,)Bnp,则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。

若设









次试验失败如第

次试验成功如第

i

i

X

i0

1

i=1,2，…，n

则

1

n

i

i





是n次试验中“成功”的次数，()01

i

Eqpp，故

222()()[()](1)

iii

DEEpppp，1,2,,in

由于

12

,,...,

n

相互独立，于是

1

()()

n

i

i

DD



=np(1-p)。

（三）几何分布的期望与方差的公式列举及证明

1．定义5：几何分布（Geometricdistribution）是离散型概率分布。

定义6：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。

n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率。1()(1)kPXkpp

若Pkqpk()1，则（1）E

p



1

，（2）D

p

p



1

2

。

.

8/10

求证：（1）几何分布的期望公式8：E

p



1

，

若某射击手击中目标的概率为P，求证：从射击开始到击中目标所需次数的期望

E

p



1

证明：依题意分布列为

123……

K

……

PP

)1(PP2)1(PP1)1(KPP

由Pkqpk()1，知

2112(1)3(1)...(1)...KEPPPPPKPP

212123......(123......)kkEppqqpkqpqqkqp

下面用错位相减法求上式括号的值。

记21123...k

k

Sqqkq

212...(1)kk

k

qSqqkqkq

两式相减，得21(1)1...kk

k

qSqqqkq

S

q

q

kq

qk

kk











1

1

12()

由01p，知01q，则0lim



k

k

q及0lim



k

k

kq（可用L'Hospital法则证明）

故21

22

11

123......lim

(1)

k

k

k

pqkqS

qp









，

所以E

p



1

.

9/10

求证：（2）()(,)pkgkp几何分布的方差公式9：D

p

p



1

2

2

q

p



证明：利用导数公式

()'xnxnn1

，推导如下：

21123......kxxkx

'2'3''

23'

()()...()...

(......)

k

k

xxxx

xxxx



















()'

()()

()

()

x

x

xx

x

x

1

1

1

1

1

2

2

上式中令xq，则得21

22

11

123......

(1)

kqqkq

qp





（2）为简化运算，利用性质DEE22()来推导。

22222123......kEpqpqpkqp

22221(123......)kpqqkq

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：kqkqkk21()'，并用倍差法

求和，有

22221123......kqqkq

23'(23......)kqqqkq



























[

()

]'

()()

()

()()

q

q

qqq

q

q

q

q

q

p

p

1

121

1

1

1

1

1

2

2

2

4

2

433

则

Ep

p

p

p

p

2

32

22









()

，

.

10/10

因此DEE

p

p

p

p

p









22

2

2

2

211

()()

证明二:22111

111

()[(1)]kkk

Kkk

Ekpqpkkqkq









=

1

()kn

k

qpqE







=

32

2121

(1)

p

qp

pppp





DEE

p

p

p

p

p









22

2

2

2

211

()()