导数单调性

利用导数求函数的单调性(总6页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--

--内页可以根据需求调整合适字体及大小--

2

利用导数求函数的单调性

例讨论下列函数的单调性：

1．xxaaxf)(

（0a且1a）；

2．)253(log)(2xxxf

a

（0a且1a）；

3．)0,11(

1

)(

2





bx

x

bx

xf．

分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再

求导数)(xf



，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(xf



的

符号，来确定函数)(xf在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分

类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分

类讨论的准确性．

解：1．函数定义域为R．

).(ln)(lnln)(xxxxaaaxaaaaxf







当1a时，.0)(,0,0ln



xfaaaxx

∴函数)(xf在),(上是增函数．

当10a时，.0)(,0,0ln



xfaaaxx

∴函数)(xf在),(上是减函数．

2．函数的定义域是

3

1

x或.2x

)2)(13(

log)56(

)253(

253

log

)(2

2















xx

ex

xx

xx

e

xfaa

①若1a，则当

3

1

x时，0)2)(13(,056,0logxxxe

a

，

∴0)(xf，∴函数)(xf在













，

3

1

上是增函数；

当2x时，0)(



xf，∴函数)(xf在2,

上是减函数

3

②若10a，则当

3

1

x时，0)(



xf，

∴函数)(xf在













，

3

1

上是减函数；

当2x时，0)(



xf，∴函数)(xf在2,

上是增函数

3．函数)(xf是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

当10x时，

22

22

)1(

)1()1(

)(













x

xxxx

bxf

22

2

)1(

)1(







x

xb

若0b，则0)(



xf，函数)(xf在（0，1）上是减函数；

若0b，则0)(



xf，函数)(xf在（0，1）上是增函数．

又函数)(xf是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所

以当0b时，函数)(xf在（－1，1）上是减函数，当0b时，函数)(xf在

（－1，1）上是增函数．

说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部

问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这

些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性

时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定)(xf



的符

号，否则会产生错误判断．

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力

中的作用，从而提高简化计算能力．

利用导数求函数的单调区间

例求下列函数的单调区间：

4

1．

32)(24xxxf

；

2．22)(xxxf；

3．).0()(b

x

b

xxf

分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间

时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失

误．

解：1．函数)(xf的定义域为R，xxxxxxf)1)(1(44)(4



令0)(



xf，得01x或1x．

∴函数)(xf的单调递增区间为（－1，0）和),1(；

令0)(



xf，得1x或10x，

∴函数)(xf的单调递减区间为)1,(和（0，1）．

2．函数定义域为.20x

.

2

1

22

)2(

)(

22

2

xx

x

xx

xx

xf

















令0)(



xf，得10x．

∴函数)(xf的递增区间为（0，1）；

令0)(



xf，得21x，

∴函数)(xf的单调递减区间为（1，2）．

3．函数定义域为).)((

1

1)(,0

22

bxbx

xx

b

xfx





令0)(



xf，得bx或bx．

∴函数)(xf的单调递增区间为),(b和),(b；

令0)(



xf，得bxb且0x，

∴函数)(xf的单调递减区间是)0,(b和),0(b．

5

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象

思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数

的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各

自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数)(xf的单调递

增区间和递减区间分别写成),1()0,1(和)1,0()1,(的错误结果．这里

我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思

想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例已知cxxf2)(，且).1()]([2xfxff

1．设)]([)(xffxg，求)(xg的解析式；

2．设)()()(xfxgx，试问：是否存在实数



，使)(x在1,

内为

减函数，且在（－1，0）内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出)(x的表达式，对于探索性问题，一般先对

结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论

证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过

程，由于函数)(x是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的

单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数



的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得ccxcxfxff222)()()]([，

)1()]([.)1()1(2222xfxffcxxf，

∴.1,1,)1()(222222cxcxcxccx

∴.1)1()1()]([)(,1)(2222xxfxffxgxxf

2．)2()2()()()(24xxxfxgx．

6

若满足条件的



存在，则

.)2(24)(3xxx



∵函数)(x在1,

内是减函数，∴当1x时，0)(



x，

即

0)2(243xx对于)1,(x恒成立．

∴

.44,1,4)2(222xxx

∴4)2(2，解得4

．

又函数)(x在（－1，0）上是增函数，∴当01x时，0)(



x

即0)2(243xx对于)0,1(x恒成立，

∴.044,01,4)2(222xxx

∴4)2(2，解得4

．

故当4

时，)(x在1,

上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即

满足条件的



存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、

变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中

的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思

维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件

相对集中，促成问题的解决．不善于应用axf)(恒成立axf

max

)]([和

axf)(恒成立

axf

min

)]([

，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

利用导数比较大小

例已知a、b为实数，且eab，其中e为自然对数的底，求证：

abba．

分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目

自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和

7

判断导数都比较容易的函数，一般地，证明),(),()(baxxgxf，可以等价转

化为证明0)()()(xgxfxF，如果0)(



xF，则函数)(xF在),(ba上是增函

数，如果0)(aF，由增函数的定义可知，当),(bax时，有0)(xF，即

)()(xgxf．

解：证法一：

eab，∴要证abba，只要证baablnln，

设)(lnln)(ebbaabbf，则

b

a

abf



ln)(．

eab，∴1lna，且1

b

a

，∴.0)(



bf

∴函数baabbflnln)(在),(e上是增函数．

∴0lnln)()(aaaaafbf，即0lnlnbaab，

∴.,lnlnabbabaab

证法二：要证abba，只要证)(lnlnbaebaab，

即证

b

b

a

alnln

，设)(

ln

)(ex

x

x

xf，则0

ln1

)(

2









x

x

xf，

∴函数)(xf在),(e上是减函数．

又)()(,bfafbae，即.,

lnln

abba

b

b

a

a



说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键

是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，

以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求

导之后得出)()()()(xgxfxgxf







的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例函数















x

y

1

1log

2

1

在区间),0(上是（）

8

A．增函数，且0yB．减函数，且0y

C．增函数，且0yD．减函数，且0y

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此

函数的单调性．

解：解法一：令

x

u

1

1，且1),,0(ux，

则0log

2

1

uy，排除A、B．

由复合函数的性质可知，u在),0(上为减函数．

又uy

2

1

log亦为减函数，故















x

y

1

1log

2

1

在),0(上为增函数，排除

D，选C．

解法二：利用导数法

0log

)1(

11

log

1

1

1

2

2

2

1



























e

xxx

e

x

y

（),0(x），故y在),0(上是增函数．

由解法一知0y．所以选C．

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性

质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复

合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导

数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．