求偏导数

第四讲导数及偏导数计算

实验目的

１．进一步理解导数概念及其几何意义.

２．学习matlab的求导命令与求导法.

实验内容

１．学习matlab命令.

建立符号变量命令sym和syms调用格式:

x=sym('x')，建立符号变量x；

symsxyz，建立多个符号变量x，y，z；

matlab求导命令diff调用格式:

diff(函数)，求的一阶导数；

diff(函数，n)，求的n阶导数(n是具体整数)；

diff(函数，变量名)，求对的偏导数；

diff(函数，变量名，n)，求对的n阶偏导数；

matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式:

jacobian([函数；函数；函数]，[])给出矩阵:

２．导数概念.

导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.

（１）点导数是一个极限值.

例3.1.设，用定义计算.

解:在某一点的导数定义为极限:

我们记，输入命令:

symsh；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0)

得结果:ans=１．可知

（２）导数的几何意义是曲线的切线斜率.

例3.2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋

势.

解:在曲线上另取一点，则的方程是:

.即

取，分别作出几条割线.

h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3;

plot(x,exp(x),'r.');holdon

fori=1:5;

plot(h(i),exp(h(i)),'r.')

plot(x,a(i)*x+1)

end

axissquare

作出在处的切线

plot(x,x+1,'r.')

从图上看，随着与越来越接近，割线越来越接近曲线的割线．

３．求一元函数的导数.

（１）的一阶导数.

例3.3.求的导数.

解:打开matlab指令窗，输入指令:

>>symsx;dy_dx=diff(sin(x)/x)

得结果:

dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.

matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，

在这里我们用dy_dx表示

例3.4.求的导数.

解:输入命令:

dy_dx=diff(log(sin(x)))

得结果:

dy_dx=cos(x)/sin(x).

在matlab中，函数用log(x)表示，而log10(x)表示

例3.5.求的导数.

解:输入命令:dy_dx=diff((x^2+2*x)^20).

得结果:

dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).

注意输入时应为2*x.

例3.6.求的导数.

解:输入命令:

dy_dx=diff(x^x).

得结果:

dy_dx=x^x*(log(x)+1).

利用matlab命令diff一次可以求出若干个函数的导数.

例3.7.求下列函数的导数:

1.

2.

3.

4.

解:输入命令:

a=diff([sqrt(x^2-2*x+5)，cos(x^2)+2*cos(2*x)，4^(sin(x))，

log(log(x))]).

得结果:

a=

[1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x)，

4^sin(x)*cos(x)*log(4)，1/x/log(x)].

dy1_dx=a(1)

dy1_dx=1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2).

dy2_dx=a(2)

dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x).

dy3_dx=a(3)

dy3_dx=4^sin(x)*cos(x)*log(4).

dy4_dx=a(4)

dy4_dx=1/x/log(x).

由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的

第i个分量.

（２）参数方程所确定的函数的导数.

设参数方程确定函数，则的导数

例3.8.设，求

解:输入命令:

dx_dt=diff(a*(t-sin(t)))；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)))；

dy_dx=dy_dt/dx_dt.

得结果:

dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).

其中分号的作用是不显示结果.

４．求多元函数的偏导数.

例3.9.设求u的一阶偏导数.

解:输入命令:

diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，x).

得结果:

ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x.

在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数:

ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y.

也可以输入命令:

jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，[xy]).

得结果:

ans=[1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x，1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]

给出矩阵

例3.10.求下列函数的偏导数:

1.

2.

解:输入命令:

diff(atan(y/x).

得结果:

ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2).

输入命令:

diff(atan(y/x)，y).

得结果:

ans=1/x/(1+y^2/x^2).

输入命令:

diff(x^y，x).

得结果:

ans=x^y*y/x.

输入命令:

diff(x^y，y).

得结果:

ans=x^y*log(x).

使用jacobian命令求偏导数更为方便.

输入命令:

jacobian([atan(y/x)，x^y]，[x，y]).

得结果:

ans=[-y/x^2/(1+y^2/x^2)，1/x/(1+y^2/x^2)]

[x^y*y/x，x^y*log(x)].

５．求高阶导数或高阶偏导数.

例3.11.设，求.

解:输入指令:

diff(x^2*exp(2*x)，x，20).

得结果:

ans=

99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x^2*exp(2*x)

例3.12.设，求,,

解:输入命令:

diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，2)

可得到:

ans=30*x^4+4*y^2.

将命令中最后一个x换为y得:

ans=-36*y^2+4*x^2.

输入命令:

diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x)，y)

可得:

ans=8*x*y

同学们可自己计算比较它们的结果.

注意命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，y)，是对y求偏导数，不是求

６．求隐函数所确定函数的导数或偏导数

例3.13.设，求

解:，先求，再求

输入命令:

df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，x)

得到:

df_dx=1/x+y/x^2*exp(-y/x).

输入命令:

df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，y)

得到:

df_dy=-1/x*exp(-y/x)

输入命令:

dy_dx=-df_dx/df_dy

可得所求结果:

dy_dx=-(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x).

例3.14.设，求,

解:

输入命令:

a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x)，[x，y，z])

可得矩阵

a=

[cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)^2)*z，cos(x*y)*x-sin(y*z)*z，

-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x].

输入命令:

dz_dx=-a(1)/a(3)

得:

dz_dx=

(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)^2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)

输入命令:

dz_dy=-a(2)/a(3)

得:

dz_dy=

(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)

练习

1.求下列函数的导数.

(1)

)1

1

)(1(

x

xy

(2)

xxxylnsin

(3)

2

2

1

sin2

x

y

(4)

)ln(22axxy

2.求下列参数方程所确定的函数的导数.

(1)











ty

tx

4

4

(2)











arctgtty

tx)1ln(2

3.求下列隐函数的导数.

(1)

22lnyx

x

y

arctg

(2)

xyyx

4.设

xeyxcos

，求

)4(y

.

5.验证

xeyxsin

满足关系式:

022







yyy

6.求下列函数的偏导数.

(1)

)sin(2xyxz

(2)

z

y

x

u















7.设

)ln(yxxu

，求

2

2

x

u





，

2

2

y

u





，

yx

u



2

.

8.求下列多元隐函数的偏导数

y

z

x

z









,

.

(1)

1coscoscos222zyx

(2)

xyzez

9.证明函数

22)()(lnbyaxu

(

ba,

为常数)满足拉普拉斯方程:

0

2

2

2

2













y

u

x

u

（提示：对结果用simplify化简）