海伦公式证明

求三角形面积的海伦公式

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边

长直接求三角形面积的公式。表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆。

相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地

术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

若

ABC

的三边长分别为a，

b

，c，则

()()()()4

()()(),

ABC

Sabcabcabcabc

ppapbpc







其中p是ABC的半周长，即()2pabc。

（证明一）设边c上的高为h。由于ADDBc，而在ADC和

DBC中，根据勾股定理有

222

22

222

22

;

.

ADACCDADbh

DBCBCDDBah















A

B

C

a

b

c

h

D

于是有

2222,bhahc

即



两边平方，化简得

22222.2cbhbca

两边平方，化简得

22

2

2

22(

4

)bca

hb

c





222

2

2

2(11)

22

.

4ABC

bca

hbc

c

Sc









仔细化简一下，得

2222

2422224224

4222242

2

2

22

4

4(

4(

1

)

4

222)

222

.

1

4

1

4

1

()()()()

4

ABC

bbca

baabacbbc

Sc

c

abcabcabca

c

aabacbbcc

bc





















（证明二）

2

11

sin1cos

22ABC

SabCabC



(1)

在

ABC

中，由余弦定理得

222

cos.

2

abc

C

ab





代入(1)式，化简得

2222

2

2

2

222222222

111()

sin1cos1

222(2)

11

4()()4()().

44

ABC

abc

SabCabCab

ab

ababcababc













化简得

1

()()()()

4

.

ABC

Sabcabcabcabc



