定积分怎么求

2013求定积分的四种方法求

定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考

点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．

一、定义法

例1用定义法求

2

3

0

xdx的值.

分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极

限．

解：（1）分割：把区间[0，2]分成n等分，则△x＝

2

n

．

（2）近似代替：△

32

()

ii

i

Sfxx

n











（3）求和：

33

111

222nnn

i

iii

ii

Sx

nnn











.

（4）取极限：S=

3332242

lim

n

n

nnnn



















＝

44

33322

44

221

lim12lim[(1)]

4nn

nnn

nn









＝

2

2

4(21)

lim

n

nn

n





＝4．

∴

2

3

0

xdx=4．.

评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其

它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关

键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．

二、微积分基本定理法

例2求定积分

2

2

1

(21)xxdx的值.

分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．

解：函数y＝221xx的一个原函数是y＝

3

2

3

x

xx．

所以.

2

2

1

(21)xxdx＝

3

22

1

()|

3

x

xx＝

81

4211

33









＝

19

3

．

评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的

原函数．

三、几何意义法

例3求定积分

1

2

1

(1)xdx



的值.

分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的

面积，只要作出图形就可求出．

解：

1

2

1

(1)xdx



表示圆x2＋y2＝1在第一、

二象限的上半圆的面积．

因为

2

S





半圆

，又在x轴上方．

所以

1

2

1

(1)xdx



＝

2



．

评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较

易求出．

四、性质法

例4求下列定积分：

⑴4

4

tanxdx







；⑵

2

2

sin

1

xx

dx

x





．

分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难

找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能

迎刃而解．

解：由被积函数tanx及

2

2

sin

1

xx

x

是奇函数，所以在对称区间的积分

值均为零．

x

y

o

1

1

1

所以⑴4

4

tanxdx







＝0；

⑵

2

2

sin

1

xx

dx

x





＝0．

评注：一般地，若f(x)在[－a，a]上连续，则有性质：①当f(x)

为偶函数时，()

a

a

fxdx

＝2

0

()afxdx；②当f(x)为奇函数时，()

a

a

fxdx

＝

0．