变积分限函数

模块基本信息

一级模块名称积分学二级模块名称基础模块

三级模块名称

变上限积分函数及其

导数

模块编号

4-4

先行知识

1、定积分的概念模块编号

4-2

2、定积分的性质模块编号

4-3

知识内容教学要求掌握程度

1、变上限积分函数及原函数的概念

1、理解变上限积分函数

及原函数的概念

一般掌握

2、变上限积分函数的求导

2、掌握变上限积分函数

的求导

能力目标培养学生知识类比、迁移的能力

时间分配45分钟编撰王明校对熊文婷审核危子青

修订人张云霞二审危子青

一、正文编写思路及特点

思路：先复习定积分的概念和性质，给出变上限积分函数的定义，

通过两个定理来展示变上限积分函数的性质.

特点：引导学生根据已学过的相关知识理解新知识

二、授课部分

（一）新课讲授

前面我们利用定积分的概念计算了定积分的值，从中我们可以看

到利用定义来求定积分是一件十分麻烦而困难的事，因此我们必须寻

找一种计算定积分的新方法，即后面要学习的微积分基本定理。为了

学习微积分基本定理，我们先来研究变上限积分函数及其导数的相关

知识，为微积分基本定理的证明做准备.

1、变上限积分函数

定义：设函数f(x)在区间[ab]上连续并且设x为[ab]上的一点，

考察定积分dxxf

x

a

)(，如果上限

x

在区间

[,]ab

上任意变动，则对于每一

个取定的

x

，定积分都有一个相应的积分值与之对应.因此它在

[,]ab

上

定义了一个函数，称为变上限积分函数，记作

(x)dxxf

x

a

)(

为明确起见，常记作(x)dttf

x

a

)(。

说明：当

()0fx

，利用定积分的几何意义可以直观地看到积分

上限的函数所表示的意义：积分dttf

x

a

)(表示图1中阴影部分的面积.

(x)

图1

下面讨论这个函数的可导性

定理1如果函数f(x)在区间[ab]上连续则函数

(x)dxxf

x

a

)(

在[ab]上具有导数并且它的导数为

(x))()(xfdttf

dx

dx

a

(ax

(选讲)证明：若x(ab)取x使xx(ab)

(xx)(x)dttfdttf

x

a

xx

a

)()(



xfdttf

xx

x



)()(

应用积分中值定理有f()x

其中在x与xx之间x0时x于是

(x))()(lim)(limlim

00

xfff

xxxx

















若xa取x>0则同理可证



(x)f(a)若xb取x<0则同

理可证



(x)f(b)

注：(1)变上限积分函数的导数其结果为被积函数

()fx

本身

（2）若

()()xfx





，则称函数(x)为f(x)在[ab]上的一个

原函数此定理说明连续函数一定存在原函数，它其中的一

个原函数就是一个变上限积分函数.

2、例题

例1求下列函数的导数：

0

1()cos(21)xxtdt（）

（一级）

02()cos3t

x

xetdt（）

（一级）

2

2

1

3()x

txedt（）

（二级）（4）3

2

()x

t

x

xedt（二级）

解：（1）直接利用积分上限函数的求导法则，)12cos()(



xx.

（2）tdtext3cos-)(x

0,则xexx3cos)(



.

y=f(x)

(3)2

1

()x

txedt可视为2

1

()u

tguedt与2xu构成的

复合函数，则由复合函数求导公式可得

24'()'()'22uxxguuexxe.

说明：利用此方法，可推出一般公式

（4）223

3

0

000

()xxx

tttt

x

xedtedtedtedt

则23

232

00

()()'()'23xx

ttxxxedtedtexex





说明：一般的，若

dttfx

xhg(x)

)(

)()(

，有

例2求极限

x

dttx

x





0

2

0

cos

lim.（二级）

解：此极限是

0

0

型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数

的导数公式得

原式=

1

1

cos

lim

2

0





x

x

例3求极限

1

cos

2

0

lim

t

x

x

edt

x







.（二级）

解：此极限是

0

0

型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数

的导数公式有

三、能力反馈部分

1、求下列函数的导数（掌握变上限积分函数的求导）

1

tan(21)

1()xt

xdt

t



（）

（一级）

0

22()t

x

xedt（）

（一级）

dt

t

t

x

xx

2

eln

)()3(

（二级）

2、求极限（利用变上限积分函数的求导求极限）

（1）

2

0

0

sin

lim

x

tdtx

x





.（二级）

（2）0

0

()

lim

1cos

x

tt

x

eedt

x











（二级）