极限误差

（内部资料,注意保密）2011贺岁倾情奉献

误差理论与测量平差基础知识归纳

绪论：

1.测量条件：观测者、测量仪器、外界环境、观测对象；

2.测量必有误差，误差与测量条件密切相关（当心判断题）；

3.测量条件相同，观测精度相等；测量条件不同观测精度不等；

4.多余观测：必要观测以外的观测；

5.必要观测：测量中可确定全部未知量所需的最少的观测（必需观测）；

6.多余观测的作用：揭示矛盾、发现观测误差、提高观测结果精度；

7.最小二乘原理：最小PVVT

；

8.关于权矩阵：（1）对称矩阵（2）对角线元素用单下标（3）p

ij

不是P的对角线元素（4）

独立等精度（非等精度）权矩阵都是相关权矩阵的特例；

9.测量平差：定义：在多余观测的基础上，依据一定的观测模型，按照一定的数学原则，对

观测结果进行合理的调整，求得一组没有矛盾的最可靠结果，并评定精度，这种处理方法和

过程称为测量平差。（平差可以消除矛盾，但不能消除误差）；

10.最或然值——用最小二乘平差求得的未知数的解，也叫最可靠值、平差值；

最或然改正数——最小二乘平差计算的观测值改正数，也叫改正数、残差；

11.测量平差的任务：1、依最小二乘原理求待定量的最或然值。2、估计观测结果和平差结

果的精度（精度估计）；

第一章：

1.真值和真误差：真值（X）——反映一个量真正大小的绝对准确的数值；

估值(L)——以一定的准确度表示一个量的大小的数值（观测值、平差值；

都是估值）

真误差(△)——观测值与真值之差()；

2.误差分类:粗差、系统误差、偶然误差；

3.偶然误差：由测量条件中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差。

特点：（1）产生误差的原因是随机的；

（2）原因是多方面的；

（3）单个误差的大小、符号无规律；

（4）误差总体上服从统计规律。

偶然误差的概率特性（统计特性）：界限性、聚中性、对称性；

偶然误差的分布：偶然误差接近服从正态分布；

4.精密度（Precision）——表示各观测值之间的密集或

离散的程度。

准确度（Accuracy）——准确度又称偏差，是指观测

值数学期望与其真值之差。它表征了观测结果系统误

差大小的程度。

精确度——表示观测值与其真值的接近程度。

XL

5.中误差：



n

m



，





n

i

i

1

2][

6.平均误差：mt



2

，mt

5

4



7.相对误差：误差值与相应观测结果之比（一般用于长度测量）；

8.绝对误差：真误差、中误差、平均误差、或然误差、极限误差称为；

9.极限误差：一定测量条件下，偶然误差的最大允许值（一般m2

限

）；

注意：（1）极限误差是真误差的限值

（2）公式m3

限

仅适用于服从正态分布的偶然误差。

（3）注意极限误差的符号表示：



m3

限d

md3

限w

mw3

限

10.衡量估值量优劣的标准:无偏性：估值的数学期望等于真值;

有效性：方差最小的无偏估值;

一致性：随着观测值个数的增大估值以概率收敛于真值;

11.12

0



L

P

12.阶雅克比矩阵，—nm

dX

dY

：















































































n

mmm

n

n

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

dX

dY

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1







13.随机变量函数的方差和中误差：

设随机变量的函数：

n

xxxfz,,,

21



真误差关系式：

n

n

x

f

x

f

x

f

z



































































0

2

0

2

1

0

1







































































































































n

n

k

k

k

x

f

x

f

x

f

K





1

0

0

2

0

1

，

TKz。

函数的方差：KK

X

T

z

2

函数的中误差：KMKm

X

T

z

2

14.几种特殊情况：

（1）观测值不相关时：

























n

i

i

i

zx

f

1

2

2

0

2，

























n

i

i

i

z

m

x

f

m

1

2

2

0

2

（2）线性函数





n

i

ii

xkz

1

，





n

i

iiz

k

1

222，





n

i

iiz

mkm

1

222

（3）倍数函数

kxz

，

xz

k，

xz

mkm

（4）和差函数：

n

xxxz

21

，





n

i

iz

1

22，





n

i

iz

mm

1

22

15.向量的协方差传播：

0

0

BBYV

AAXU





，

UV

T

XY

BA

（如果函数关系是非线形的，

0















dX

dU

A，

0















dY

dV

B）

16.菲列罗测角中误差公式：



n

WW

m

3



算数平均值的中误差公式：

n

m

m

x



水准高差的中误差公式：mnm

h

，SKm

h



三角高程高差的中误差公式：











m

Sm

h

17.

][][2222



mkkmm

z

18.权的定义：

19.常用公式：

12MP，12

0

P；MQ

2

1



，

2

0

1



Q

；

算术中数的权：npp

x

；水准高差的权：

S

S

p

h

0

；

三角高程高差的权：

2

2

0

S

S

p

h



；

权逆阵传播：

0

AAXY，则T

XY

AAQQ

；

权倒数计算：),,,(

21n

xxxfz，















































































0

0

2

0

1n

T

x

f

x

f

x

f

K，则

KQK

pX

T

z



1

；

第二章

1．

dX

dV

PV

dX

PVVd

T

T

2

)(



2.最小二乘平差：在多余观测的基础上，依据一定的观测模型，按照一定的数学原则，对

观测结果进行合理的调整，求得一组没有矛盾的最可靠结果，并评定精度，这种处理方法和

过程称为测量平差;



ˆ

:0

ˆ

PlAXPAATT(0

ˆ

UXN);

4.)(

ˆ

0

LDAXXAV:0

ˆ

PlAXPAATT(0

ˆ

UXN);

计算:lXAV

ˆ

,

则PVlXAPVVTT)

ˆ

(PVlPVAXTTT

ˆ



因为0PVAT，所以PVlPVVTT)

ˆ

(lXAPlTXPAlPllTTˆ

XUPllTTˆ



UNUPllTT1;

tn

PVVT





6．单位权中误差公式：

7.有关量的权逆阵

误差方程自由项的权逆阵：LDAXl

0

，1PQQ

Ll

；

法方程自由项的权逆阵：PlAUT，NPAAPAPQAQT

l

T

U

;

参数平差值的权逆阵：UNX1ˆ，111

ˆ

NNQNQ

U

X

（1

ˆˆ

NQQ

XX

）;

观测值平差值的权逆阵：LDXAV

ˆ

，DXAL

ˆˆ

（L

ˆ

=V+

L

），

TT

XL

AANAAQQ1

ˆˆ





;

8.残差向量的权逆阵:lXAV

ˆ

,lPAANIVT)(1,

TTT

V

PAANIPPAANIQ)()(111,T

V

AANPQ11;

9.残差向量与平差值的相关权逆阵:lPAANIVT)(1,PlANXT1ˆ,

TTT

XV

PANPPAANIQ)()(111

ˆ





,0

ˆ



XV

Q



,0

ˆˆ

T

XVLV

AQQ



(残差向量与平差值

不相关);