长方体的长宽高

第三章《长方体和正方体》

一．选择题

1．（2020秋•新沂市期中）4瓶250毫升的饮料正好是（）升．

A．1B．100C．1000

2．（2020秋•洪洞县期中）如果两个不同容器的容积相等，它们的体积（）

A．相等B．不相等C．无法判断

3．（2020春•和平区期末）小明用同一块橡皮泥先捏成一个正方体，又捏成一个球，体积（）

A．变大B．变小C．不变

4．（2019•永州模拟）一个圆柱形粮仓，要求能放进多少粮食，是求这个粮仓的（）

A．体积B．容积C．表面积D．底面积

5．（2019春•兴县期末）长方体的6个面展开后（）

A．都是长方形B．至少有2个面是长方形

C．至少有4个面是长方形

6．（2019•长沙）一个长方体的底是面积为3平方米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，

这个长方体的侧面积是（）平方米．

A．18B．48C．54

二．填空题

7．（2019•株洲模拟）公顷＝平方米

2.04升＝毫升

3.25小时＝小时分

2吨50千克＝吨

8．（2019春•高密市期末）用一根长36厘米的铁丝做一个正方体模型，这个正方体模型的表面积是

平方厘米．

9．（2018春•乌鲁木齐期末）

750毫升＝升7.65立方米＝立方分米．

10．（2018秋•盐城月考）计量比较少的液体，通常用作单位，可以用字母表示．

11．（2018•延平区）如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，

表面积就比原来减少30cm2．原来长方体的表面积是cm2．

12．9立方米500立方分米＝立方米＝立方分米．

三．判断题

13．（2020春•扶风县期末）物体所占空间越大，表示它的体积越大．．（判断对错）

14．（2020春•芦溪县期末）一个长方体棱的总长为60厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是

15厘米．．（判断对错）

15．（2019春•昌乐县期末）物体的容积就是这个物体的体积．．（判断对错）

16．（2019春•禅城区期末）相邻两个面是正方形的长方体一定是正方体．．（判断对错）

17．（2016春•托里县校级期中）正方体的棱长扩大2倍，则正方体的表面积就扩大4倍．（判

断对错）

18．（2014春•楚雄市期中）一个火柴盒的容积大约是8立方米．．（判断对错）

四．计算题

19．（2014春•海口校级月考）一个长方体从正面看如图（1）所示，从上面看如图（2）所示．求该

长方体的表面积．

五．应用题

20．两根同样长的铁丝，一根正好围成一个长9cm、宽4cm、高2cm的长方体框架，另一根正好围成

一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？（接头忽略不计）

21．一个长方体的饼干盒，长18cm，宽12cm，高20cm，现在要围着它贴一圈商标纸（上下两个面

不贴），如果商标纸的接头处是3cm，那么这张商标纸的面积是多少平方厘米？

六．解答题

22．（2007•江阴市）有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角

度观察的结果如图所示，那么这个立方体1的对面是，3的对面是，4的对面

是．

23．王老师请工人给他做一个棱长为60cm的玻璃鱼缸，至少需要多大面积的玻璃？

24．一个木箱的形状是正方体，棱长为0.8m，制作这个木箱至少需要木板多少平方米？（木箱的上

面没有盖）

25．（2019春•长清区期末）科技小组用60厘米的铁丝做个长方体模型，这个长方体的长是6厘米，

宽是5厘米，高是多少厘米？

26．（2019春•长清区期末）亮亮家要给一个长0.75m，宽0.5m，高1.6m的简易衣柜换布罩（没有

底面）．至少需要用布多少平方米？

27．（2017春•裕安区期末）一个长方体无盖的玻璃鱼缸，长2米，宽0.5米，高1米，做这样的一

个鱼缸，需玻璃多少平方米？

28．把12个棱长都是5厘米的小正方体纸盒用包装纸包装成长方体，至少需要多少平方厘米的包装

纸？（包装时重叠部分多用120平方厘米的包装纸．）

29．（2019•上街区）用橡皮泥做一个圆柱体学具，做出的圆柱底面直径4厘米，高6厘米．如果再

做一个长方体纸盒，使橡皮泥圆柱正好装进去，至少需要多少平方厘米硬纸？

30．（2015•深圳）如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的

正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体

图形的表面积是多少平方厘米？

参考答案与试题解析

一．选择题

1．【分析】首先求4个250是多少用乘法，得到1000毫升，然后把1000毫升化成升数，用1000除

以进率1000；即可得解．

【解答】解：250×4＝1000（毫升）

1000毫升＝1升

答：4瓶250毫升的饮料正好是1升．

故选：A．

【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，

把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．

2．【分析】容积是指容器所能容纳物体体积的大小，体积是指这个物体所占空间的大小，容积的计

算方法和体积的计算方法相同，但是两个不同意义的概念，所以无法判断．

【解答】解：容积和体积不完全相同，所以如果两个不同容器的容积相等，它们的体积的大小无

法判断．

故选：C．

【点评】正确掌握容积和体积的概念是解决此题的关键．

3．【分析】同一块橡皮泥捏成不同的形状，只是形状和表面积的变化，所占空间的大小不变，即体

积不变．

【解答】解：小明用同一块橡皮泥先捏成一个正方体，又捏成一个球，体积不变；

故选：C．

【点评】解答本题的关键是，正方体或球的体积就是橡皮泥的体积，不论形状是否改变，橡皮泥

的体积不会发生改变．

4．【分析】此题考查了体积、容积、表面积和底面积的概念问题，要求粮仓能放进多少粮食，就是

球的粮仓的容积．

【解答】解：一个圆柱形粮仓，要求能放进多少粮食，是求这个粮仓的容积；

故选：B。

【点评】正确区分体积、容积、表面积、底面积的概念，是解决此题的关键．

5．【分析】根据长方体的特征，长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成

的立体图形；由此解答．

【解答】解：一般情况下，长方体的6个面展开后都是长方形，在特殊情况下，长方体的6个面

展开有两个是正方形，其它4个面是完全相同的长方形．

故选：C．

【点评】此题主要考查长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是

正方形），相对的面面积相等．

6．【分析】由“一个长方体的底是面积为3平方米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形”

可知：底面正方形的周长正好是侧面正方形的边长，也就是说侧面正方形的边长是底面正方形边

长的4倍，那么侧面正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，根据求一个数的几倍是多少，用

乘法进行解答即可．

【解答】解：由分析知：侧面正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，即：

3×16＝48（平方米）

故选：B。

【点评】解答此题的关键是先通过题意，进行推断，进而得出侧面正方形的面积就是底面正方形

面积的16倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法进行解答即可．

二．填空题

7．【分析】（1）高级单位公顷化低级单位平方米乘进率10000．

（2）高级单位升化低级单位毫升乘进率1000．

（3）3.25小时看作3小时与0.25小时之和，把0.25小时乘进率60化成15分钟．

（4）把50千克除以进率1000化成0.05吨再加2吨．

【解答】解：（1）公顷＝6000平方米

（2）2.04升＝2040毫升

（3）3.25小时＝3小时15分

（4）2吨50千克＝2.05吨．

故答案为：6000，2040，3，15，2.05．

【点评】单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单

位间的进率；由高级单位化低级单位乘进率，由低级单位化高级单位除以进率．

8．【分析】由题意可知，这根铁丝的长度就等于正方体的棱长总和，先求出一条棱长，再根据正方

体的表面积＝棱长×棱长×6，即可列式解答．

【解答】解：36÷12＝3（厘米），

3×3×6，

＝9×6，

＝54（平方厘米）；

答：这个正方体的表面积是54平方厘米．

故答案为：54．

【点评】此题主要考查正方体的表面积计算公式，关键是理解铁丝的长度即正方体的棱长总和，

求出棱长，即可求出表面积．

9．【分析】把750毫升换算为升，用750除以进率1000；

把7.65立方米换算为立方分米，用7.65乘进率1000．

【解答】

解：750毫升＝0.75升7.65立方米＝7650立方分米．

故答案为：0.75，7650．

【点评】解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名

数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．

10．【分析】根据生活经验、对容积单位的认识，可知计量比较少的液体用毫升作单位，计量比较多

的液体用升作单位；据此进行解答．

【解答】解：计量比较少的液体，通常用毫升作单位，可以用字母mL表示．

故答案为：毫升，mL．

【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，

灵活的选择．

11．【分析】如果去掉一个正方体，表面就少了4个面或2个面，表面积比原来减少30平方厘米，

所以用30÷4或30÷2求出正方体的一个面的面积，然后由图可知：把三个同样大小的正方体拼

成一个大长方体，少了4个面，长方体的表面积即（6×3﹣4）个正方形面的面积和，进而解答即

可．

【解答】解：30÷4×（6×3﹣4）

＝7.5×14

＝105（平方厘米）

30÷2×（6×3﹣4）

＝15×14

＝210（平方厘米）

答：原来长方体的表面积是105平方厘米或210平方厘米；

故答案为：105或210．

【点评】解答此题的关键是先求出正方体一个面的面积，进而弄清要求的长方体的表面积和面的

关系，进而解答得出结论．

12．【分析】把500立方分米除以进率1000化成0.5立方米再与9立方米相加是9.5立方米；高级单

位立方米化低级单位立方分米乘进率1000．

【解答】解：9立方米500立方分米＝9.5立方米＝9500立方分米．

故答案为：9.5，9500

【点评】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻之间的进率是1000，由高级单位化低

级单位乘进率，反之除以进率．

三．判断题

13．【分析】据体积的含义：物体所占空间的大小，叫做物体的体积；可知：物体所占空间越大，表

示它的体积越大；据此判断即可．

【解答】解：根据体积的含义可知：物体所占的空间越大，表示它的体积越大；说法正确；

故答案为：√．

【点评】此题考查了体积的含义，应注意基础知识的积累．

14．【分析】根据长方体的棱的特征，12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相

等；长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的

长、宽、高；棱长总和÷4＝长、宽、高的和；由此解答．

【解答】解：60÷4＝15（厘米）；

答：相交于同一个顶点的三条棱的长度和（也就是长、宽、高的和）是15厘米．

故答案为：√．

【点评】此题的解答首先明确长、宽、高的意义，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫做长

方体的长、宽、高；再根据棱长总和的计算方法解决问题．

15．【分析】根据容积和体积的定义：体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能

容纳物体的体积；

由此可知：一个容器的容积要小于它的体积；由此判断即可．

【解答】解：体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积；

一个容器的容积要小于它的体积；

所以上面的说法是不正确的．

故答案为：×．

【点评】此题考查了容积和体积定义的区别．

16．【分析】因为相邻两个面都是正方形，那么长方体的长宽高都相等，所以一定是正方体，进而得

出结论．

【解答】解：由分析知：相邻两个面是正方形的长方体一定是正方体；

故答案为：√．

【点评】解答此题的关键是：根据长方体的特征进行解答．

17．【分析】根据正方体的表面积公式和积的变化规律可知，棱长扩大2倍，表面积就扩大2×2＝4

倍，由此可以解决问题．

【解答】解：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，

根据积的变换规律可知，棱长扩大2倍，表面积就扩大2×2＝4；

故答案为：√．

【点评】此题是正方体表面积和积的变化规律的综合运用．

18．【分析】本题是体积、容积单位的选取，单位选取，根据生活实际，一个火柴盒的体积约是8立

方厘米；由此判断即可．

【解答】解：由分析可知：一个火柴盒的容积大约是8立方厘米，所以本题说法错误；

故答案为：×．

【点评】本题是考查体积、容积的单位选取，单位选取一要看题目中的数据，二要结合生活实际．关

键是知道1立方厘米、1立方分米、1立方米的实际大小．

四．计算题

19．【分析】根据题意知道，这个长方体的长是5厘米，高是5厘米，宽是8厘米，根据长方体的表

面积公式计算．

【解答】解：（5×5+5×8+5×8）×2

＝（25+40+40）×2

＝105×2

＝210（平方厘米）

答：长方体的表面积是210平方厘米．

【点评】此题解答关键是理解掌握长方体的长、宽、高与各个面的长、宽的关系，首先由长方体

的展开图确定长方体的长、宽、高．再根据它的表面积公式解答．

五．应用题

20．【分析】首先根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，求出这根铁丝的长度，再用铁丝的长

度除以12即可求出正方体的棱长，把数据代入公式解答．

【解答】解：（9+4+2）×4÷12

＝15×4÷12

＝60÷12

＝5（厘米）

答：正方体的棱长是5厘米．

【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式、正方体的棱长总和公式，关键是熟记公式．

21．【分析】由题意可知：“围着它贴一圈商标纸（上下面不贴）”，也就是求它的4个侧面的总面

积，即（长×高+宽×高）×2，再加上接头处3cm的长方形面积．由此解答．

【解答】解：[（18+12）×2]×20+3×20

＝60×20+3×20

＝1200+60

＝1260（平方厘米）

答：这张商标纸的面积是1260平方厘米．

【点评】此题解答关键是搞清商标纸所贴的位置，即在4个侧面上，然后根据长方体的表面积的

计算方法解答．

六．解答题

22．【分析】图1：正面为1，上面为6，右面为4；

图2：正面为3，上面为2，右面为1；

图3：正面为4，上面为5，右面为3；

由图1和图2可以确定1的对面是5，由图1和图3可以确定4的对面是2，由此解答．

【解答】解：根据题意可知：1的对面不能是6、4和2、3，所以1对5；

4的对面不能是1、6和3、5，所以4对2；

剩下的是3对6；

故答案为：5，6，2．

【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

23．【分析】由于鱼缸无盖，所以只求它的5个面的总面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，求出

一个面的面积再乘5即可．

【解答】解：60×60×5＝18000（平方厘米）

答：至少需要18000平方厘米的玻璃．

【点评】这是一道正方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个正方形面的面积，从

而列式解答即可．

24．【分析】由题意可知，所做的木箱无盖，也就是求它的5个面的面积，根据正方体的表面积公式：

S＝6a2解答．

【解答】解：0.8×0.8×5

＝0.64×5

＝3.2（平方米）

答：至少需要木板3.2平方米．

【点评】此题属于正方体的表面积的实际应用，根据正方体的表面积的计算方法解决问题．

25．【分析】长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，用棱长总和除以4再减去长和宽的和即可．

【解答】解：60÷4﹣（6+5）

＝15﹣11

＝4（厘米）

答：高是4厘米．

【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式的灵活运用．

26．【分析】求至少需要用布多少平方米，就相当于求除了底面之外的5个面的面积，根据长方体的

表面积公式代入数据解答即可．

【解答】解：（0.75×1.6+0.5×1.6）×2+0.75×0.5，

＝4+0.375，

＝4.375（平方米）；

答：至少需要用布4.375平方米．

【点评】本题是有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是几个面的面积和，知识点：长

方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2．

27．【分析】求需玻璃多少平方米，就是求鱼缸的表面积．因为这个长方体鱼缸无盖，所以只求5个

面的面积即可．

【解答】解：2×0.5+（0.5×1+2×1）×2，

＝1+5，

＝6（平方米）．

答：需玻璃6平方米．

【点评】此题考查学生对长方体的表面积公式的具体运用情况．在解答此题时要注意“无盖”这

一条件．

28．【分析】①宽5厘米，长5厘米，高60厘米；

②宽5厘米，长10厘米，高30厘米；

③宽5厘米，长15厘米，高20厘米；

④宽10厘米，长10厘米，高15厘米；

四种情况分别求出长方体的表面积，加上120平方厘米，再进行比较即可求解．

【解答】解：①2×（5×5+60×5+60×5）+120

＝2×625+120

＝1370（平方厘米）

②2×（5×10+30×5+30×10）+120

＝2×500+120

＝1120（平方厘米）

③2×（5×15+20×5+20×15）+120

＝2×475+120

＝1070（平方厘米）

④2×（10×10+10×15+10×15）+120

＝2×400+120

＝920（平方厘米）

因为920＜1020＜1070＜1370，

答：至少需要920平方厘米的包装纸．

【点评】考查长方体的表面积的知识点：长方体的表面积＝2×（长×宽+长×高+宽×高）．本题

注意分类思想的运用．

29．【分析】至少能进去意味着长方体的体积在是最小的情况下也要比圆柱大，由至少得知，直径4

厘米也就是圆柱最宽的长度为4厘米，那么长方形的长和宽就可以此为标准，得长方形的长、宽

均为4厘米，体积最小的情况也就是剩余的空间最少则长方形的高与圆柱的高相等，即为6厘米，

从而可以求出纸盒的表面积，也就是至少需要的硬纸的面积．

【解答】解：纸盒的表面积：（4×4+4×6+6×4）×2，

＝（16+24+24）×2，

＝64×2，

＝128（平方厘米）；

答：至少需要128平方厘米硬纸．

【点评】解答此题的关键是明白：让长方体的长和宽都等于圆柱的底面直径，高等与圆柱的高，

则需要的硬纸面积最小．

30．【分析】把棱长是2厘米的正方体的底面向上平移，把棱长是1厘米的正方体底面向上平移，则

容易看出：求最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为4厘米的正方体的表面积与棱长为2厘

米的正方体4个侧面和棱长为1厘米的正方体4个侧面的面积之和；根据“正方体的表面积＝棱

长2×6”求出棱长为4厘米的正方体的表面积，根据“正方体的侧面积＝棱长2×4”分别求出棱

长为2厘米的正方体4个侧面和棱长为1厘米的正方体4个侧面的面积，然后相加即可．

【解答】解：42×6+22×4+12×4

＝96+16+4

＝116（平方厘米）；

答：最后得到的立方体图形的表面积是116平方厘米．

【点评】解答此题的关键是明确：最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为4厘米的正方体的

表面积与棱长为2厘米的正方体4个侧面和棱长为1厘米正方体的4个侧面的面积之和．