空间平面方程

空间直线与平面的方程及其位

置关系

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空间直线与平面的方程以及位置关系

高天仪2

数学科学学院数学与应用数学专业１0级汉二班

指导教师李树霞

摘要解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这

一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的

建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。

关键词空间直线、方向向量、参数方程、方向数

1空间直线的方程

1.１直线的对称式（点向式)方程

空间给定了一点

0

M与一个非零向量v



,那么通过点

0

M且与向量v



平行的直

线

l

就被唯一确定,向量v



叫直线

l

的方向向量.

任何一个与直线

l

平行的非零向量都可以作为直线

l

的方向向量.

直线

l

过点),,(

0000

zyxM,方向向量ZYXv,,



.设),,(zyxM为

l

上任意一

点,

00

rOM





,rOM



,由于MM

0

与v



（非零向量)共线,

则vtrr





0

即vtrr





0

（1.1－1）

叫做直线

l

的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。

如果设},,{

0000

zyxr



，},,{zyxr



又设},,{ZYXv



,那么

（１.1-1）式得

















Ztzz

Ytyy

Xtxx

0

0

0

（１.１-2)

（1.１－1)叫做直线l的坐标式参数方程。

消参数ｔ即得

Z

zz

Y

yy

X

xx

000











（1．１-3)

则（1.１-３)叫做直线

l

的对称式方程或称直线

l

准方程。

例1求通过空间两点),,(

1111

zyxM，),,(

2222

zyxM的

直线方程。

解取

21

MMv





作为直线

l

的方向向量，设

),,(zyxM

为

直线

l

上的任意点(如右图),那么

},,,{

12121212

zzyyxxrrMOr







所以直线

l

的向量式参数方程为:

);(

121

rrtrr



（1．1-4)

坐标式参数方程为

















)(

)(

)(

121

121

121

zztzz

yyyy

xxtxx

（１．1－5）

对称式方程为

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

















(１.

１-6）

方程(1.4－４）（1.4-5)（1.4-6)都叫做直线

l

的两点式方程。

１.１．1直线的方向数

①取直线

l

的方向向量为cos,cos,cos

0

v



,则直线的方程为

00

vtrr





(参数方程)

或























cos

cos

cos

0

0

0

tzz

tyy

txx

（1.１

－７）

标准方程

coscoscos

000

zzyyxx









(1．1-8)

由此可见参数t的几何意义:t为直线

l

上点M与点

0

M之间的距离．

②直线的几个问题

Ⅰ．直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向．

Ⅱ.直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Ｚ或与之成比例的一组数

nml,,

Ⅲ.直线的方向余弦cos,cos,cos

与方向数

nml,,

之间的关系

222222222

cos,cos,cos

nml

n

nml

m

nml

l













1．2空间直线的一般方程

空间直线可以看作两个平面的交线。如果两个相交平面的方程分别为

0

1111

DzCyBxA和0

2222

DzCyBxA（

1

A、

1

B、

1

C与

2

A、

2

B、

2

C不成比

例),则它们的交线是空间直线。该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平面

方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程。所以方程组











0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

(1．2-１）

就是这两个平面交线的方程。方程(1.2－１）称为空间直线的一般方程。

1.3直线的射影式方程

由于直线的表示法不唯一,通常取简单的两平面来表示直线.

如将一般方程(特殊的一般方程)化为











dbzy

cazx

(直线的射影式方程).

1.４直线一般方程与标准方程的互化

①标准方程化为一般方程.(方向数不全为零)

②一般方程化为标准方程

一般方程











0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

(1)确定直线的两平面法向量

21

,nn



的向量积

21

nn



为直线的一个方向

向量.

(2)取方程组的一组特解得直线l上一点

),,(

0000

zyxM

化得直线标准方程:

22

11

0

22

11

0

22

11

0

BA

BA

zz

AC

AC

yy

CB

CB

xx









2空间平面的方程

2.１空间平面的一般方程

一个平面I是由垂直它的非零向量ｎ和平面上的一个点M唯一决定的。设n=（A,B，

C)(不为零向量)表示垂直I的方向,称n为I的法向量

由于ｎ为平面I的法向量，Ｍ

０

(x

0

,y

0

,z

0

）为Ｉ上一点,则对于空间中任

意一点Ｍ(x,y，ｚ），M在Ｉ上当且仅当

0

0

nMM或nOMnOM

0

（3.1．2—1)

用坐标来表示，化为

0)()()(

000

zzCyyBxxA

令)(

000

CzByAxD,则得到平面的方程

0DCzByAx(3.1.2—2）

这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示。反之，对于任何一个三

元一次方程

0DCzByAxCBA,,不全为0,

不妨设0A,则该方程又可写成

0)(CzBy

A

D

xA

作过点)0,0,(

A

D

，垂直于方向),,(CBA的平面，则这个平面的方程就是所给出的

方程,即一个三元一次方程表示一个平面。由此可以看出,经由坐标系,空间中的

平面与一个四元数组),,,(DCBA相对应。但是,这种对应不是一对一的，对于所

有的

0k

，),,,(kDkCkBkA对应同一平面。由(３．1.2—２)表示的方程称为平

面的一般方程。

3.２空间平面的法式方程

把（3.1.2—1）式两边同时与

n

1

或

n

1

相乘,符号的选取使得

0)(

0

nOM。这样

nn

0

为从原点指向平面Ｉ的单位向量

0)(nOMp

o



为原点O与平面I的距离。此时可以得到I的另一种方程表示

pnOM

00

，1

0

n，p0

称为平面的法式方程，选取的称为法化因子。它的几何意义是：平面I是由所

有的满足OM在垂直于I的直线上投影向量为

0

pn的点M构成的。若以给平面I

的方程为

0DCzByAx

则I的法式方程可以表示成

0)(DCzByAx

其中法化因子

222

1

CBA



,正负号的选取要使得0D。法式方程常

用来处理和点与平面的距离有关的问题。

３.３空间平面的参数方程

n

pnM

a

b

Mo

（3.1.4—1)（3.1.4—２）

从图（3．１．4—2）中可以看出，平面Ｉ是由I上一点

0

M与两个不共线的

与I平行的向量a,b(或者说是I上两个不共线的向量）所决定的。设

0

M),,(

000

zyx

I，),,(

321

aaaa，),,(

321

bbbb,ａ，b与I平行且

0ba

。则

空间中任意一点

),,(zyxM

在I上,当且仅当MM

0

，a,b三向量共面。从而有实

数k,m，使得

mbkaMM

0

或者mbkaOMOM

0

使用分量来表示,则可得到

















330

220

110

mbkazz

mbkayy

mbkaxx

(３．１.4—３)

我们称(3.1．4—３)为平面的参数方程,其中参数为k和m。从(3.1.４—3）中

消去参数ｋ,ｍ,可以得到关于x,y,ｚ的三元一次方程

321

321

000

bbb

aaa

zzyyxx

=0

3.4空间平面的截距式方程

对于由方程

0DCzByAx

所表示的平面I。假设I过原点O,即)0,0,0(在Ｉ上当且仅当

0D

。若

0D

，则

平面I可用方程

1

c

z

b

y

a

x

(３．４—1)

表示，其中

)0,0,(a

,

)0,,0(b

,

),0,0(c

分别为I与三个坐标轴的交点坐标。则我们称

(3.4—1）为平面的截距式方程。

3空间中直线与平面的位置关系

已知直线l和平面



的方程为

.0:

,:000













DCzByAx

n

zz

m

yy

l

xx

l



现在我们来讨论l，//l,

l

在



上的充要条件。

因为直线

l

的方向向量

),,(nmlS

与直线

l

平行,平面



的法向量

),,(CBAN

与平面



垂直,所以有



.//

C

n

B

m

A

l

NSl



.0//nCmBlANSl

如果NS时,

l

和



又有公共点，则

l

就整个落在



上了．因此有



l

在



上













0

0

000

DCzByAx

nCmBlA

３.1空间直线与平面的交角

设直线

l

和平面



的交角为.当//l时,0;当l时，

2



；其他情

况下，等于

l

与它在



上的射影直线

'l

所交的锐角.

设是

l

的方向向量

S

与



的法向量

N

之间的夹角，则有







2

或





2





sin)

2

cos(cos

或

.sin)

2

cos(cos





因此在这两种情况下，都有

NS

NS

cossin.

已知直线l和平面



的方程为

0:

:000













DCzByAx

n

zz

m

yy

l

xx

l



设l和



的交角为，则

222222

sin

CBAnml

CnBmAl

NS

NS











参考文献

[1]吕林根许子道.《解析几何》第四版.高等教育出版社.2006．05．

[２］同济大学应用数学系.《高等代数与解析几何》.高等教育出版社．20０5.05.

[3］谢敬然柯媛元.《空间解析几何》.高等教育出版社.2013．０5.

[４]高红铸王敬庚傅若男.北京师范大学数学科学学院组编.《空间解析几何》第三版.

北京师范大学出版社.2007.0７．0３.