曲率计算公式

1

第二章曲面论

高斯曲率的计算公式

高斯定理

2

12

2

LNM

Kkk

EGF







。

注意

2

(,,)

uvuu

uu

rrr

Lnr

EGF





，

2

(,,)

uvuv

uv

rrr

Mnr

EGF





，

2

(,,)

uvvv

vv

rrr

Nnr

EGF





。

所以

2

2

LNM

K

EGF







2

22

1

[(,,)(,,)(,,)]

()uvuuuvvvuvuv

rrrrrrrrr

EGF





，

2

利用行列式的性质和矩阵乘法，得

2(,,)(,,)(,,)

uvuuuvvvuvuv

rrrrrrrrr

(,,)(,,)

uu

vuvvvvuvuv

uuuv

rr

rrrrrrrr

rr













uuuvuvvuuuvuuv

vuvvvvvvuvvvuv

uuuuuvuuvvuvuuvvuvuv

rrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr







uvvuuv

vvvvuv

uuuuuvuuvvuvuuvvuvuv

EFrrEFrr

FGrrFGrr

rrrrrrrrrrrr







0

uvvuuv

vvvvuv

uuuuuvuuvvuvuvuvuuvv

EFrrEFrr

FGrrFGrr

rrrrrrrrrrrr







，

由于

()(())()

uvuvuvuvuuvvvuv

FFrrrrrr

uuvvuuvvuuvvuvuv

rrrrrrrr，

11

()()

22vvvvuuvvuuvvuvuv

EErrrrrr，

11

()()

22uuuuvvuuvvuuvuvu

GGrrrrrr，

所以

11

22uvvvuuuuvvuvuv

FEGrrrr，

于是得到

3

22

11

22

111

[]

()22

111111

0

222222

uvv

vu

uvuuvvvuuvu

EFFEEFE

KFGGFGG

EGF

EFGFEGEG









对于曲面上的正交坐标网来说，

0F

，

此时

()()

1

[()()]uv

GE

K

uv

EGEG







，

()()

1

[()()]uv

uv

GE

K

EGEG

。

于是，曲面的高斯曲率K被其第一

基本形式完全确定，所以高斯曲率

4

也是曲面的内蕴量，公式被称为高

斯定理，且被誉为著名的高斯定理。

据说，高斯当年发现并证明出来

后，非常兴奋，欣喜若狂。

半测地坐标网下，

高斯曲率的计算公式

在2C类曲面



：(,)rruv

上选一条测地线



为

v

--曲线：

0u

；再取与



正交的测地线族为

u

--曲线，另取这测地线族的正交轨

线为

v

--曲线，则得一半测地坐标

网。对于这个半测地坐标网而言，

曲面的第一基本形式可以简化为

22()(,)()duGuvdv

，

5

其中(,)Guv满足条件

(0,)1,(0,)0

u

GvGv

。

在曲面上选取了半测地坐标网

后，曲面的高斯曲率有如下的计算

公式

2

2

1G

K

u

G







。

常高斯曲率的曲面

现在设曲面



的高斯曲率是常

数，即K常数，则得微分方程

2

2

0

G

KG

u







。

根据初始条件：

(0,)1,(0,)0

u

GvGv

，

我们可按以下不同情形求出这个

微分方程的解。

（1）正常数高斯曲率的曲面，

6

0K，

此时()cos()sinGAvKuBvKu。

根据初始条件，可得

()1,()0AvBv

，

于是

cosGKu

，

222()cos()duKudv

。

实例：考虑球心在原点，半径为R的

球面。

取赤道为最初给定的测地线，

则所有经线是与赤道正交的测地

线，所有纬线是这测地线族的正交

轨线，因此球面上的经线和纬线构

成半测地坐标网。

设球面上点的经度为v，纬度

为u，

则球面的参数表示是

(coscos,cossin,sin)rRuvuvu。

7

(sincos,sinsin,cos)

u

rRuvuvu，

(cossin,coscos,0)

v

rRuvuv，

2,0,

uuuv

ErrRFrr

22cos

vv

GrrRu

22222()cos()RduRudv

。

在球面上重新选择参数，命

,uRuvRv

于是

222()cos()

u

dudv

R



，

高斯曲率

2

22

111

(cos)

cos

Gu

K

u

uRR

G

R









，

因此得到

222()cos()duKudv

，

所以正常数高斯曲率的曲面的第

一基本形式与球面的相同。

8

正常数高斯曲率的曲面与同高斯

曲率的球面之间存在着保距变换。

（2）0K，从而有1G，

因此

22()()dudv

，

所以零高斯曲率的曲面的第一基

本形式与平面的相同。

（3）负常数高斯曲率的曲面，

0K，

此时()()GAvchKuBvshKu。

根据初始条件，可得

()1,()0AvBv

，

于是

GchKu

，

222()()duchKudv

。

由此可知,具有相同常数高斯曲

率的曲面都可适当选取参数,使曲

面具有相同的第一基本形式,因此

可建立等距对应.

由上述定理知道,具有常数高斯

9

曲率的曲面(这种曲面称为常曲率

曲面)可按K>0;K=0;K<0分成

三种类型.而属于同一类型的曲面

它们的内在几何是相同的.平面作

为高斯曲率为零的代表;球面作为

高斯曲率为正常数的代表.换句话

说,高斯曲率为零的曲面都可以与

平面建立等距对应,高斯曲率为正

常数的曲面都可以与球面建立等距

对应.那么自然会问什么曲面可以

作为高斯曲率为负常数的代表?

设2

1

K

a



,我们可以在旋转曲面

中找出这个代表.

设旋转曲面的待定母线为

Oxz

平面中的曲线()zzx.把它绕z轴旋

转后形成了旋转面

(()cos,()sin,())rxtxtzt

，tx；

代入旋转曲面的高斯曲率公式

222

[()()()()]()

()[(())(())]

xtztxtztzt

K

xtxtzt











得其高斯曲率为

10

22

()()

[1(())]

zxzx

K

xzx









为了使这个曲面的高斯曲率

2

1

K

a



所以待定函数()zzx就必须满足下列

方程:

222

()()1

[1(())]

zxzx

xzxa









，

将其改写成

2

2

222

1[(())]11

()

2[1(())]2

zx

x

zxa











，

两边积分后得到2

1

22

11

1(())

xC

zxa







取积分常数

1

0C,

于是可解出

222(())xzxxa



，

由此得出22

()

ax

zx

x





，

22ax

dzdx

x



，

令sinxat，

11

则2cos1sin

cos

sinsin

att

dzatdtadt

att





1

(sin)

sin

atdt

t



2

1

(sin)

2tancos

22

atdt

tt

，

于是

(lntancos)

2

t

zat。

因此，以母线

sin

(lntancos)

2

xat

t

zat















绕z-轴旋转后所得的旋转曲面的高

斯曲率正好等于负常数2

1

K

a



。

我们把母线(4.4)称为曳物

线.

而把曳物线绕z-轴旋转后

所得的曲面称为伪球面.

由著名的高斯定理,曲面的高斯

曲率K被其第一基本形式完全确定.

因此,若两个曲面可建立等距对应,

则对应点的高斯曲率必相等.

12

但反之则不然.

【例１】证明:曲面

:(cos,sin,)Sruvuvv

，（正螺面）

1

:S

111111

(cos,sin,ln)ruvuvu

，(旋转

曲面)

在点(,)uv与

11

(,)uv处的高斯曲率相等,

但曲面S与

1

S不存在等距对应.

【证明】容易算出正螺面S与旋转曲

面

1

S的第一基本形式分别为

222()(1)()duudv

，

222

1111

2

1

1

(1)()()duudv

u



再利用正交网时高斯曲率的计算公

式(即高斯方程)

()()

1

[()()]uv

uv

GE

K

EGEG



经过计算得出曲面S和

1

S的高斯曲

13

率分别为

22

1

(1)

K

u





，

1

22

1

1

(1)

K

u





。

因此取对应点

11

(,)(,)uvuv，便成立

1

KK。

但是曲面S与

1

S不存在等距对应.

我们用反证法.若曲面S与

1

S之间

存在等距对应,

它的对应关系为1

1

(,),

(,),

uuv

vuv















则对应点的高斯曲率必相等,所以

得出1

(,)(,)KuvKuv

，

即2222

1

(1)(1)uu，

或22

1

(1)(1)uu；

(1)若22

1

(1)(1)uu则22

1

uu或1

uu。

因此对应关系为1

1

,

(,),

uu

vuv











这时

1

S的第一基本形式

14

222

1111

2

1

1

(1)()()duudv

u



222

2

1

(1)()()

uv

duududv

u



2222222

2

1

(1)()2()

uuvv

uduududvudv

u

，

因为是等距对应,故

1

，比较得出

22

2

2

222

1

11,

0,

1,

u

uv

v

u

u

u

uu



























由其中第二式得出0

u

或0

v

,

再由第一式或第三式得出

2

1

0

u

或

210u，这显然不可能成立.因此

这种情况不可能.

(2)若22

1

(1)(1)uu，则22

1

2uu。这

显然不可能成立.

因此曲面S与

1

S之间不能存在

等距对应.

15

尽管在对应点具有相同高斯

曲率的曲面不能建立等距对应,但

是对高斯曲率为常数的曲面,若在

对应点具有相同高斯曲率是必可建

立等距对应的.

定理4.1(Minding定理)

具有相同常数高斯曲率的曲面

总可建立局部等距对应.

证明设曲面S的高斯曲率

K是常数,。

在S上取任意点P和过P

点的任意测地线



,

把



作为

v

--曲线

0u

；且从P

点起的弧长为v.

再取与



正交的测地线族为

u

--

曲线，另取这测地线族的正交轨线

为

v

--曲线，则得一半测地坐标网。

对于这个半测地坐标网而言，

（注意,这时

:0u

的曲线

16

也是测地线）。因此曲面的第一基

本形式可以简化为

22()(,)()duGuvdv

，

根据假设v是



的弧长,所以

22()(0,)()dvGvdv

，

于是

(0,)1Gv(4:1)

又因



是测地线,根据Liouville

公式知

00

1ln

||0

2v

guu

G

k

u

E







即成立

(0,)0

u

Gv(4:2)

另一方面,将E=1代入高斯方程,

得

2

2

1G

K

u

G







，

17

或

2

2

0

G

KG

u







，

其中(,)Guv满足条件

(0,)1,(0,)0

u

GvGv

。

这个微分方程的通解可按高斯曲率

K的符号分为三种情形: