锥形体积

《圆锥的体积》导学案

山东省茌平县实验小学李维忠设计邮编252100

山东省茌平县教育局

小学教研室何仲秋评析

学习内容：北师大版六年级数学下册第一单《圆锥的体积》第11～12页

学习目标：

1、通过探索与发现，推导出圆锥体积计算方法，并能解决简单的实际问题。

2、经历探索圆锥有关知识的过程，进一步发展空间观念。

3、在观察与实验、猜测与验证、交流与反思等活动中，体会数学知识的产

生过程，体验数学活动充满着探索与创造，初步了解并掌握一些数学思想方法。

学习重点：初步掌握圆锥体积的计算方法并解决一些实际问题。

学习难点：探索圆锥体积的计算方法和推导过程。

学具准备：

等底等高、等底不等高、等高不等底的圆锥和圆柱共八套，沙、米，实验报

告单；带有刻度的直尺，绳子等。

学法指导：

先由学生自学课本，经历自主探索总结的过程，并独立完成自主学习部分，

通过独立思考及小组合作，推导出圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问

题。并独立完成导学案，然后学习小组讨论交流展示，小组间互相点评，对于

有疑问的题目教师点拨、拓展。

导学过程：

一、创设情境生成问题

①前面，我们学习过哪些立体图形的体积计算？

课件出示

②课件出示圆锥体，指出图中圆锥的底面、侧面和高．

圆锥是由两部分组成的。

③回忆：圆柱体与圆锥体的特征有哪些相同的地方？

都是

在推到圆柱体体积计算公式的过程中，我们运用了什么数学思想方法？

把转换成。

④观察：将圆柱体形状的一筒沙慢慢倒在桌上，会变成什么形状的沙？

⑤猜想：这个圆锥形沙堆的体积怎样计算呢？

设计意图：创设情境使学生进入了有序的思维境地，捕抓课堂问题的生成，

让学生自己提问题，自己解决问题，激发学生的学习欲望，为探索新课做好辅垫。

【评析：圆锥是小学几何初步知识的最后一个教学单元中的内容，是学生在

学习了平面图形和长方体、正方体、圆柱体这三种立体图形的基础上进行研究的

最基本的立体图形。由研究长方体、正方体和圆柱体的体积扩展到研究圆锥的体

积，是发展学生空间观念的需要。从已学过的立体图形的体积计算公式入手，让

学生回忆相关的知识及在学习过程中掌握的数学思想方法，以唤醒学生的基本活

动经验，为学生将要进行的自主探索活动提供了思维的方向和活动的方法。】

二、探索交流解决问题

1、直观引入提出猜想

猜一猜：你认为圆锥的体积可能和什么图形的体积有关呢？

我的猜想：可能和体积有关。因为它们底面都是

设计意图：让学生运用已有的知识和生活经验进行猜测，大胆提出假想，让

学生实现创造性地学习，又激发了学生急于验证猜想的探究欲望。

探究活动一：研究圆柱和圆锥的底面积和高

同学们，每个小组的桌子上有几个圆柱形容器和一个圆锥形容器。请仔细观

察比较：圆柱形容器和圆锥形容器的底面大小有什么关系？高度又有什么关系？

小组合作进行比较，记录自己的发现。

我们组发现①圆柱和这个圆锥的底面积（），高也（）。

我们组发现②圆柱和这个圆锥的底面积（），但高（）。

我们组发现③圆柱和这个圆锥的高（），高也（）。

我们组发现④圆柱和这个圆锥的底面积（），但底面积（）。

小结：通过刚才的比较我们用简洁的数学语言表示：圆柱和圆锥有

的、、、四种情况。

设计意图：此处教师没有直接给出等底等高的几组圆锥和圆柱体学具，而是

给了每个小组的多种情形，目的是让学生真实地感受到圆锥体积计算公式推导中

前提条件的必要性，为揭示圆锥体积计算公式做好充分的准备；让学生在获得大

量的真实数据中寻找有价值的线索，培养学生敏锐的直觉与科学的研究态度。

【评析：认识等底等高的圆柱和圆锥是本课学习的基础。对于这一特殊关系，

教者没有直接告诉学生，而是给出一个圆锥和四个不同的圆柱，放手让学生比一

比、量一量，总结四种不同的情形，让学生在自主活动中获得直观而清晰的认识。】

2、实验探索验证猜想

活动二：根据上面这四种情况我们研究圆柱和圆锥体积之间有什么关系呢？

下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法。老师给每组同学都准

备了两个圆锥体容器，两个圆柱体容器和一些沙土（其中4个小组的实验材料：

沙子（米）、等底等高的圆柱形和圆锥形容器各两个；另外2个小组的实验材料：

沙子（米）等，等底不等高和等高不等底的圆柱形和圆锥形容器各一个）。

实验时，（1）、分组实验，小组成员分工合作，轮流操作，作好实验数据

收集，填写实验报告单。

（2）、向圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），

倒人圆锥体（或圆柱体）容器里。

（3）、倒的时候注意，把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关

系，并想一想，通过实验你发现了什么？

实验条件实验方法发现结果

第一次实验

第二次实验

第三次实验

结论：

（4）汇报结果，实物投影展示实验报告单。

（5）小组交流，得出结论：

A：只有在等底等高的情况下圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的。

B：只有在等底等高的情况下圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的

倍。

C：或的圆锥和圆柱体积之间没有这样的关系。

3、分析数据建立模型

（1）通过实验可知：圆锥的体积是和它的圆柱体积的

（2）归纳总结：圆锥的体积=，如果用V表示圆锥的体积，S表示

圆锥的底面积，h表示高，那么圆锥的体积的计算公式，V=

设计意图：让学生亲自动手实验,使听觉、视觉、触觉等各种感官一起参与

活动,通过自己亲自动手操作,努力去探索圆锥体积的计算方法,这样的学习,学

得活,记得牢,既发挥了教师的主导作用,又充分体现了学生的主体地位。

【评析：动手实践、自主探究、合作交流是学生学习数学的重要方式。这一

环节，教师在学生小组实验操作的基础上，重视对其实验过程与结果的交流，并

引导学生充分地表达圆柱和圆锥体积的关系。在此基础上，教师又适时出示不等

底等高的圆柱和圆锥，让学生进一步形成科学的认识，圆锥的体积是与它等底等

高的圆柱体积的。这样有利于深化学生对结论前提的认识，培养学生思维的严谨

性。】

4、简单应用尝试解答

解题思路：要求小麦堆的体积就是求（）的体积。要想求出圆锥的体积，

得知道（）和（）。所以，我先求出这个圆锥形小麦堆的底面积，然后

再代入公式（），从而求出这个圆锥形小麦堆的体积。

列式：

设计意图：学生能通过自己动手实验，总结出圆锥体的计算公式，在这里放

手让学生利用公式去解决有关的问题，说算理，培养学生的解题能力，思维能力、

口头表达能力。

三、巩固练习，运用拓展

1、填空：

（1）圆柱的体积是9cm3，与它等底等高的圆锥体积是＿＿＿＿。

（2）圆锥底面积5.4m2，高21m，体积是＿＿＿＿。

（3）一个圆锥的体积是141.3cm3与它等底等高的圆柱体体积是（）cm3。

2、试一试判断下面的说法是不是正确。

（1）圆锥的体积等于圆柱体积的。（）

（2）把一个圆柱本块削成一个最大的圆锥，应削去圆柱体积的。（）

（3）圆锥的高是圆柱的高的３倍，它们的体积一定相等。（）

3、走进生活点燃思维

（1）、一堆圆锥形沙堆，底面直径是10米，高是3米，这堆沙子有多少立

方米？

（2）、一堆圆锥形沙堆，底面周长是62.8米，高是3米，这堆沙子有多少

立方米？

（3）、一堆圆锥形沙堆，它的占地面积为12平方米，高是1.5米，每立方

米沙重1.7吨。用载重为2吨的汽车把这堆沙运走，几次才能运完？

4、实践性练习

请你们将做实验时装在圆柱容器里的沙倒出，堆成一个圆锥形沙堆，小组合

作测量计算它的体积。

应测量圆锥形沙堆的＿＿＿和＿＿＿，怎样测量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

列出算式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

设计意图：前后呼应，给了学生一个运用所学知识解决实际问题的机会，让

他们动手动脑解决身边的实际问题，使学生体验到成功的喜悦，提高了学习数学

的兴趣。

【评析：这一环节引导学生围绕圆锥的体积进行了不同层次的实际应用。学

生的练习不是简单的解答问题，而是在解答问题的过程中从明确问题意义、找准

已知条件与计算方法、正确简便地计算出结果等多方面培养解决实际问题的能力

和思维能力。】

四、整理归纳，回顾体验

1、这节课，你有什么收获？

2、用什么方法获取的？你认为哪组表现最棒？

3、通过这节课的学习，你有什么新的想法？还有什么问题？

设计意图：让学生自己小结，不仅回顾了所学知识，而且总结了探索的过程

和获取知识的方法、途径，真正做到既馈之以“鱼”，又授之以“渔”。

总评：

本学案有如下几个特点：

一．教学情景的创设为教学活动的开展提供了思路与方法。

长方形、正方体、圆柱体的体积计算是本课的认识基础，因此本设计从回忆

三种立体图形的体积计算公式V＝SH开始，让学生从原有认识结构里提取与本

课相关的信息，为探索新知做好知识方面的准备，不仅如此而且还提出在推到圆

柱体体积计算公式的过程中，我们运用了什么数学思想方法？（转化）为活动的

开展提供了方法上的保障。

将圆柱体形状的一筒沙慢慢倒在桌上让学生认真观察这一设计更是独具匠

心，学生通过这一现象，自然地会把圆锥的体积与圆柱的体积联系起来。

极具情趣的教学情景再加上教师幽默风趣的教学语言在很短时间内产生对

探究新知的欲望。

二．有效的小组合作活动促进了学生知识的自主建构。

教师没有拘泥于课本和传统的做法。只给出等底等高的圆柱和圆锥让学生操

作，而是给学生一个圆锥和几个不同的圆柱，让学生通过小组成员互相协作，通

过比一比、量一量等有效活动，得出等底等高、不等底不等高、等高不等底和等

底不等高四种不同的情形，让学生在自主探索与合作交流中清楚地认识圆锥和圆

柱的关系。使圆锥的体积计算自然地与圆柱体积的计算联系起来。为探究活动的

进一步开展做好了铺垫。

案例中教师善于挖掘知识本身的智力因素，引发学生的认知冲突，由浅入深、

循序渐进的引导，让学生情不自禁地走进了课堂，走进了小组合作学习。当他们

自主地用高与底面同或不同的圆锥和圆柱进行动手操作活动时，自然地引发了不

同结论的争论，此时学生产生了要进一步操作验证的内在需求，教师及时地满足

了他们的需求，学生们通过动手操作活动增强了对实验条件的辨别能力和对多余

信息的判断能力。不难看出，学生学得主动，感受了知识的形成过程，促进了学

生思维的有效提升和实践能力的发展。学生的认知结构在“肯定——否定——肯

定”中得到了丰富和发展。学生的情感在认知的过程中也得到了和谐的发展，他

们在相互交往中加深了理解、沟通和包容，品尝到了探索成功的喜悦。

在这一活动之前，如果能让学生根据四种情形进行一下猜测圆锥的体积和相

关的圆柱的体积会有什么关系？然后让学生自主选择其中的两种（其中一种必为

等底等高）一起研究，填好报告单，总结实验结果。验证自己的猜想。这样可以

避免操作过程的单一性，使这个探究过程更加的丰富。

三．重视了数学思想方法的渗透及数学模型的建构。

在圆锥体积公式的推导过程中，教师敢于大胆放手，让学生自主探索，经

历“再创造”的过程。体验“转化”的数学思想方法，遵循“猜想——验证——

建立模型——应用”的教学理念，引导学生亲身经历通过观察、实验、猜测、验

证、推理与交流等数学活动，积极主动地发现了等底等高的圆柱与圆锥体积间的

关系，进而将实际问题抽象成数学模型，并进行探索与应用的过程，使学生逐步

学会用数学知识和方法解决生活中的实际问题。