七角星

N角星的尖角度数之和

有一道这样的数学题：如图①所示，为五角星图案，图②、图③

叫做蜕变的五角星．试回答以下问

图1

（1）在图①中，试证明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；

（2）对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或

图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由．

这道题实际并不难，只要利用三角形内角和定理及三角形的一个

外角等于与它不相邻的两个内角和的知识就可以解答。解答过程如

下：

1.证明:如图①。设BD、EC的交点为F，AC、BD的交点为G；

∵∠BFC=∠B+∠E,∠DGC=∠A+∠D;

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BFC+∠DGC+∠C

∵∠BFC+∠DGC+∠C=180°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

2，能；如图③，设蜕变前的五角星为ABCDF,连结BC;

证明一:在△FBC中，∵∠F+∠FBC+∠FCB=180°

∴∠F+∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°

△EBC中∵∠E+∠EBC∠ECB=180°

∴∠E+∠1+∠2+∠3+∠4=180°

∴∠F+∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠E+∠1+∠2+∠3+∠4

∴∠F+∠1+∠2+∠3+∠4=∠E+∠1+∠2

图2

∴∠E+∠EBD+∠ECA=∠F+∠FBD+∠FCA

∴∠A+D+∠E+∠EBD+∠ECA

=∠A+D+∠F+∠FBD+∠FCA

=180°

证明二:设BD、AC的交点为G，AC、BE的交点为H；

∵∠HGD=∠1+∠BHD,∠BHD=∠E+∠2;

∴∠A+∠EBD+∠ACE+∠D+∠E

=∠A+∠1+∠2+∠D+∠E

=∠A+∠AGD+∠D

=180°

作为一道数学题，本应到此为止。但解答完之后，感觉好像发现

G

A

B

CD

E

F

图①

F

E

5

1

2

3

4

A

B

C

D

6

图③

G

H

了点儿什么，所以，就对N角星图案做了一下对比研究。你还别说，

还真就发现了很多有意思的内容。

首先说一下由第一个问题引发的思考：五角星的五个尖角之和为

180度，那么，六角星、七角星会怎么样？八角星、九角星呢？N角

星呢?为了说明这个问题，先要介绍一下一个概念：芒星。芒星是由

几个完全的等腰三角形（有时是正三角形）和一个正多边形组成的平

面图形。等腰三角形的个数与正多边形的边数相等。任何芒星都可以

一笔画出，并且起笔点和结束点在同一位置。由五个等腰三角形和正

五边形组成的图形叫“五芒星”（俗称：五角星）。由六个等腰三角形

和正六边形组成的图形叫“六芒星”……依此类推。另外，还要说明一

下多边形的有关概念。同一平面内的若干条线段首尾顺序相接而组成

的封闭图形叫做多边形。周界不自交的多边形叫做简单多边形；简单

多边形应满足三个条件：1.顶点与顶点不重合；2.任何顶点都不在其

他边内；3.不相邻的边也不相交。非简单多边形叫做星形多边形。比

较发现，芒星和星形多边形并不是一回事。芒星并不都是星形多边形，

星形多边形也并不都是芒星。为了能够看出规律，我们不妨把两种图

形或者图案都叫做多角星，图形也好，图案也罢，它有几个尖角（小

于平角的角）我们就叫它几角星。我们试着列举一些简单的多角星图

案（形），分别计算出它们各自的尖角度数之和，看看能不能发现规

律。

边数最少的正多边形应是正三角形，三芒星的图案如图3○1所

示，其三个尖角之和为1800。其次是四芒星，图案如图3②，四个尖

角之和为3600。

五角星就有两种：如图4所示左边为5400、右边为1800.

.六角星两种、七角星三种如下：图下是其尖角度数之和。

72009000

八角星三种，九角星四种：图下是其尖角度数之和。

362600

3②

图4

3①

十角星四种：

144600

十一角星有五种，十二角星有五种；十三角星六种，十四角星六

种…，…。

设多角星的尖角个数为N，观察上述列举结果可知，若N为奇数，

则N角星有

2

1

（N-1）种，其尖角度数之和分别为1800,3×1800，…，…，

（N-2）×1800.若N为偶数，则N角星有（

2

1

N-1）种，其尖角度数

之和分别为2×1800,4×1800，…，…，（N-2）×1800.按此规律推算，

二十九角星应该有14种，其尖角度数之和分别为1800,3×

1800，…，…，27×1800。三十角星也应该有14种，其尖角度数之和

分别为2×1800,4×1800，…，…，28×1800。

以上说的N角星都是指正N角星,因为正N角星相邻各顶点所连线

段组成的图形都是正多边形，只要画出N角星的外接圆，然后数出每

一个尖角的两边与圆的两个交点之间的其他尖角的顶点个数，再利用

圆周角的知识很容易求出N角星的尖角度数之和，所以上述结论不证

自明。

如果N角星发生了蜕变，即不再是正N角星了，或者说N角星的

顶点不一定共圆了，那么，上述结论是否还成立？这时应怎样求N

角星的尖角度数之和？这是由前述蜕变的五角星问题引发的第二个

思考。由于N角星数量众多，且随着N的增大，尖角个数相同的N

角星的种类也会越来越多，所以不能一一列举。下边仅以七角星为例，

说明一下多角星尖角度数之和的求法。

七角星有三种，其中最简单的一种其实就是简单的七边形，利用

三角形内角和的知识很容易求出其内角和为9000。其次是如下图（1）

所示的七角星：借鉴本文开始的问题（1）中五角星的几个尖角度数

之和的求法可以求出来其尖角的度数和为1800。还有一种就是下图

（2）

1()

2()

B

G

E

C

A

F

D

所示的七角星。由于此时七角星发生了蜕变，再用圆周角的知识

就求不出来了。五角星的那种尖角度数和的求法也不能用了。不过，

只要按照AD、DG、GC、CF、FB、BE、EA的顺序添加辅助线，就会得

到七个以尖角的顶点和这个角的两边与其他尖角的边的交点为顶点

的三角形，同时得到一个与图（1）类似的七角星。（1）图七角星尖

角度数之和为1800，所以图（2）七角星的尖角度数之和由图可知为：

2

1

×（7×180-180）0=5400。

当N≥3时，任意N角星不外乎两大类：一类是有公共边的两角

的另外两边相交，另一类是不相交。求各种N角星的尖角度数之和，

相交的可以用图（1）的方法，不相交的可以用图（2）的方法。由上

述计算过程可知，任意N角星或者说蜕变N角星与正N角星的尖角度

数之和相等，仍然满足上述规律。这是为什么？

实际上，这一现象的背后隐藏着一个简单的规律，还以七边形为

例；蜕变以后的七角星非常复杂，，但复杂的事实背后总隐藏着简单

普遍的规律。物理学中有个控制变量法。即物理学中对于多因素（多

变量）的问题，常常采用控制因素（变量）的方法，把多因素的问题

转化成多个单因素的问题，而只改变其中的某一个因素，从而研究这

个因素对事物的影响；先分别对每一个因素加以研究，最后再综合解

决；这种方法叫控制变量法。它是科学探究中的一种重要思想方法，

被广泛地运用在各种科学探索和科学实验的研究之中。现在我们不妨

拿来一用。

如图（3），假设正七角星的顶点A蜕变到A′的位置，而其他顶

点不动；从图中明显能够看出，在∠CAF蜕变到∠CA′F的同时，

∠ACF和∠AFC也在蜕变，但无论怎样蜕变，总有∠1=∠3+∠5，∠2=

∠4+∠6；∠CA′F-∠CAF=∠5+∠6.也就是说，无论点A′处在什么

位置，只要不在△ACF的外部，都有∠CAF+∠ACF+∠AFC=∠CA′F+

∠A′FC+∠A′CF,所以七个尖角的度数总和并没发生变化。

2

4

3

6

5

1

3()

B

G

E

C

A

F

D

A'

(5)

(4)

A

A'A'

5

6

6

5

3

1

4

2

4

2

3

1

A

D

F

C

E

G

B

实际上即使点A退化到了图（4）、图（5）所示的位置时，也很

容易证明七个尖角的度数之和并没有发生变化；因为△ACF和△A′CF

的内角和始终相等，都等于180°。其他顶点发生蜕变时，情形一样。

最后的结论是，任意N角星的尖角度数之和与与其对应的正N

角星的尖角度数之和相等。要求任意N角星的尖角度数之和，只需求

出与其对应的正N角星的尖角度数之和。而一般情况下，利用圆周角

的有关知识，正N角星的尖角度数之和是比较好求的；这也算体现了

数学中的化归思想吧。

数学的殿堂总是那么绚烂多彩，引人入胜。复杂的事实背后总隐

藏着简单普遍的规律。同时，看似简单问题的背后也往往透视着高深

莫测的科学原理。作为一名教师，我的一贯看法是做数学题是为了学

好数学，但学好数学并不是单单为了做数学题。数学从它诞生的那天

起，就紧紧伴随着人类的生活、生产。一道新型的数学问题的产生，

往往具有复杂的现实背景，遇到一个问题，我们不但要知道它是什么，

还要知道是为什么；了解问题产生的根源，尽量研究与此有关的一系

列的问题、现象；这样不但能提高我们自身分析问题、解决问题的能

力，还能拓宽我们的知识面，扩大我们的知识视野；这样才能使我们

对问题的理解达到举一反三、对知识的掌握达到融会贯通的效果。