阶数

无穷小量的阶数及其应用

摘要:我们可以用提取公因式法、导数法、马克劳林法确定无穷

小量的阶数,还可用无穷小量的主要部分计算复杂未定式。

关键词:无穷小量阶数无穷小量的主要部分复杂未定式的计

算

中图分类号:o172.1文献标识码:a文章编

号:1674-098x(2012)04(a)-0218-02

infinitesimalorderanditsapplication

duanwenxi

(beijingnormaluniversityzhuhaicampus)

abstract:wecanuthemethodofextractingcommonfactor,

derivativemethod,markmclaughlinmethodtodeterminethe

orderofinfinitesimal,wecanalsomakeuofinfinitesimal

mainparttocalculationcomplexityoftheindeterminate

form.

keyword:orderoftheinfinitesimalmainpartofthe

infinitesimalcalculationcomplexityofthe

1无穷小量阶的概念及其运算

定义1如果,就称是时关于的阶无穷小量。

对于无穷小量的运算,我们有以下结论

(1)如果与都是时关于的阶无穷小量,则是关于的阶无穷小量,其

中;

(2)如果,,则是阶无穷小,其中;

(3)如果,则也是关于的阶无穷小量;

(4)如果,则;

(5)如果,,则

;

(6)时,如果,,则

是关于的阶无穷小。

例1时,是的高阶无穷小,.是的高阶无穷小量,则

是的高阶无穷小,也是的高阶无穷小量。

2无穷小量阶数的判断

方法一、(提取公因数判断法)

如果是有限项无穷小量的代数和,且

,则当时,是时关于的阶无穷小量。

例1问当时,无穷小量

是关于的几阶无穷小量？

解,

,所以,时

是关于的阶无穷小量。

方法二(导数判断法)

如果在点的邻域内有连续的阶导数,且()但,则当时,是关于的阶

无穷小量。

证明由罗必大法则

所以,当时,是关于的阶无穷小量。

例2确定当时是关于的几阶无穷小．

解记,则;

,;,;

,,所以是关于的阶无穷小量。

方法三、(马克劳林公式法)

如果是有限个同阶无穷小量的代数和,则将的每个无穷小量用马

克劳林公式展开,展到合并同类项后首次出现系数不为零的项为止,

按这种要求,如果其中某一项需要展到项,则在这项的后面,要加上

这项的高阶无穷小．这种方法还经常要利用、、、、的皮亚诺形式的

马克劳林公式。

例3

,

所以是关于的阶无穷小量。

如果用马克劳林展开并合并同类项后仍然含有同阶无穷小量的

和差,那么,每个无穷小量应多展一项。

例4判断是关于的几阶无穷小？

错误的做法

。

因为最后的计算结果含有两个同阶无穷小量的差,所以,还是无

法判断原无穷小量的阶数。

正确做法如下:

。

所以是关于的二阶无穷小量。

3无穷小量阶数的应用

如果未定式的分子和分母是有限个无穷小量的代数和,则用罗必

大法则计算这类极限时,求导数的过程必定很复杂,以下介绍应用

无穷小量阶数计算这类复杂未定式的方法。

定义2在某一变化过程中,是个不同阶数的无穷小量,如果是其

余各无穷小量的低阶无穷小量,则称为无穷小量的主要部分,简称

为的主部。

例5当时,的主要部分是．

例6当时,因是关于的三阶无穷小量,所以

的主要部分是。

如果一个分式的分之与分母分别是有限个无穷小量的代数和,则

该分式的极限等于分子与分母主要部分比值的极限。

例7。

解因时,,,所以,

,

例8

解,因是关于的一阶无穷小量,所以,

．

例5

．

参考文献

[1]同济大学数学教研室．高等数学:上册．5版．2011:56—59．北

京:高等教育出版社．

[2]段文喜编著．考研数学:上册．2011:12—19．广东:暨南大

学出版社.