旋转抛物面

(完整版)一椭圆抛物面

§6抛物面

例：

yoz

面上抛物线0

0

22













p

x

pzy

绕z轴旋转，所得旋转面为

pzyx2

2

22

，即

z

p

y

p

x

2

2

2

2

2



.

此曲面称为旋转抛物面,将该曲面推广便有：

一椭圆抛物面：

1、定义：在直角系下，由方程z

b

y

a

x

2

2

2

2

2

（a,b〉0)(1）所表示的图形称为椭圆抛物面；而(1）

称为椭圆抛物面的标准方程.

注：在直角系下，由方程y

c

z

a

x

2

2

2

2

2

或x

c

z

b

y

2

2

2

2

2

所表示的图形也是椭圆抛物面。

2、性质和形状：

（i）对称性：椭圆抛物面（1)关于z轴,

zy

面,zx面对称，在ch6中，我们将会知道椭圆抛物面无对

称中心。

（ii）有界性：由（1）知z=



















2

2

2

2

2

1

b

y

a

x

≧0，∴椭圆抛物面（1）位于

yx

面的上方，且为无界的。

(iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线

（1）与三坐标轴均交于原点——顶点；(1）与三坐标面交于







0

)1(

x

，







0

)1(

y

，







0

)1(

z

，亦即











0

222

x

zby

（2），











0

222

y

zax

（3），















0

0

2

2

2

2

z

b

y

a

x

（4）

(2）,（3)均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向均指z轴正向。对称轴均为z轴；而（4）为

原点。

(iv）与平行于坐标面平面的交线:

首先，（1)与平行于

yx

面的平面交于







kz

)1(

,即















kz

k

b

y

a

x

2

2

2

2

2

(0k）（5）

当

0k

时,（5)为原点;

当

0k

时，（5）为椭圆,其顶点为(0，±bk2,k)∈（2）,（±ak2，0，k）∈(3）.

可见，椭圆抛物面(1）是由

yx

面上方的一系列“平行”椭圆构成，这些椭圆的顶点在抛物线(2)

和(3）上变化.

(完整版)一椭圆抛物面

(图4.6）

另外，椭圆抛物面(1）与平行于

zy

面的平面交于







kx

)1(

，即















kx

a

h

zby)

2

(2

2

2

22

（6）

对

k

，(6)均为全等的抛物线,其顶点(

k

,0,

2

2

2a

k

)∈（3）对称轴∥z轴,开口方向朝z轴正向(与

(3）的开口方向一致)

最后，若用平行于zx面的平面去截（1)，其截线情况于上类似，由此可得椭圆抛物面的几何特

征如下：

椭圆抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动过程中，动抛物线的顶点始

终在定抛物线上,开口方向与定抛物线开口方向一致,且它们所在平面始终保持垂直(如图4.6).

二双曲抛物面：

1、定义：在直角系下，由方程

z

b

y

a

x

2

2

2

2

2



（a,b〉0）(1)所表示的图形称为双曲抛物面；而(1）

称为双曲抛物面的标准方程。

注：在直角系下,由方程

y

c

z

a

x

2

2

2

2

2

或x

c

z

b

y

2

2

2

2

2

所表示的图形也是双曲抛物面。

2、性质和形状：

(i）对称性：双曲抛物面（1）关于z轴，

zy

面,zx面对称，在ch6中，我们将会知道双曲抛物面无

对称中心.

(ii）有界性:由（1）知双曲抛物面(1）为无界的。

（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线

（1）与三坐标轴均交于原点—-顶点；（1)与三坐标面交于







0

)1(

x

，







0

)1(

y

,







0

)1(

z

，亦即











0

222

x

zby

（2)，











0

222

y

zax

(3），















0

0

2

2

2

2

z

b

y

a

x

（4）

（2)，（3）均为抛物线,其顶点均为原点，其开口方向一指z轴正向,一朝z轴负向.对称轴均为z

轴；而(4）为二相交直线。

（iv）与平行于坐标面平面的交线：

首先,（1）与平行于

yx

面的平面交于







kz

)1(

，即

x

z

o

(完整版)一椭圆抛物面















kz

k

b

y

a

x

2

2

2

2

2

(5)

当

0k

时，（5)为（4）；

当

0k

时，（5)为双曲线,其顶点为（±ak2，0，k）∈（3）.

当

0k

时,（5）仍为双曲线，其顶点为(0,±kb2，k）∈(2）

可见，双曲抛物面（1)是平行于

yx

面的一系列“平行”双曲线构成，这些双曲线的顶点在抛物

线（2）和(3）上变化。

另外，双曲抛物面（1)与平行于

zy

面的平面交于







kx

)1(

，即















kx

a

h

zby)

2

(2

2

2

22

（6)

对

k

，(6）均为全等的抛物线，其顶点（k，0，

2

2

2a

k

）∈（3)对称轴∥z轴，开口方向朝z轴负

向（与(3）的开口方向相反）

最后，若用平行于zx面的平面去截（1)，其截线情况于上类似,由此可得双曲抛物面的几何特征

如下：

双曲抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹,在移动过程中，动抛物线的顶点始终

在定抛物线上,开口方向与定抛物线开口方向相反，且它们所在平面始终保持垂直(如图4。7)。

(图4.7)

Xx

Yy

ZZ

o