群环域

§3.3除环、域（Divisionringandfield）

教学目的和要求：与整环相比，除环少了“交换性”这个“好性质”，但也同时增添了*R为

乘群”这个更好的性质。整环与除环相比，相同处为：都有单位元，都是无零因子环；不相

同处为：前者可以是零环，而后者不行；前者可换而后者不一定可换；前者不具备“*R为

乘群”，但后者具备。我们把整环的优点（可换性）与除环的优点（可逆性）凑合在一起，

则成了另一个更“好”的代数体系---域。学习本讲要求掌握：

1.整环与除环的区别和联系。

2.整环的几种判定。

3.四元数除环的意义。

4.域的运算规则和域的判定法则。

教学难点和重点：重点①除环的几个判定法则;②域的运算法则的证明。难点:无。

一、除环

定义1：设R是一个环，如果满足下列条件，则称R是一个除环(也可以称为体)：

①R至少包含一个非零元。

②1R

③*{0}RR中每个元都有逆元.

注：上述定义可以简述为，R是除环R是一个含单位元的非零环且的每个非零元都可逆。

性质1.除环R必是无零因子环，但反之不成立.

证明:设Ra0.如果

a

是左零因子Rb0使0ab.但除环中每个非零元都

有逆元Ra1使11aa，11000aabab,矛盾。

反之，无零因子环显然未必是除环。例如，整数环是无零因子环，但不是除环。

性质2.除环R中，*R是一个乘法群.

证明：利用§2中结论2，易得。

利用性质2.得到判断除环的一种方法.

结论1:非零环R是除环*R是一个乘法群.

注：对于除环R而言,乘法群*R习惯上叫做除环R的乘群.因此，除环R是由两个群—加群

,R和乘群*,R凑合而成的;而环中的分配律恰似一座桥,在这个群间建立了联系.

结论2.设R是一个有限的非零环,那么R是除环R是无零因子环.

证明:由性质1

R是无零因子环*R是乘法半群,又R中满足消去律*R中也满足消

去律,由于*R有限,由第二章有限群的判断定理，*,R是一个群,R是除环.

二、域

整环是可交换的,而除环是可逆的,将这两者统一在一起，则得到一种新的代数体系：域.

定义2:交换的除环称为域,一般记为F.

注:域必是除环域具有除环所有的性质.

前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域)，例如：有理数域Q,实数域R,复数域C.

当p为素数时,

p

Z也是域。

要找一个非域的除环是不容易的,下面举一个非域除环的例子：Hamilton四元数除环

（简称为四元数除环）。

例：设,,RaibcidC（事实上，2CR），在R中定义加法

和乘法如下：



21212211

,



,,,

其中

2

和

2

表示

2

和

2

的共轭复数.

分析：1、可以证明:R是一个环.(略)

2、易知0,1是R的单位元R是一个幺环.

3、任取R的一个非零元idciba,,，,可逆。

由于,不全为零

02222dcba（dcba,,,不全为零）

于是有





























,R，使,（















,=0,1=1.

由,的任意性R中每个零元都可逆

所以，R是一个除环.

4、另外,显然非交换。因为0,i,R1,0，而0,ii,01,0,ii,00,1,0

所以，0,1,01,00,ii。即R不是域.

所以R是一个非域的除环。

注：这里的“四元数”的来历如下：

令11,0.,0,0,1,0,iijki ，不妨称它们为“数”，显然

Rkji,,,1.可以验证（

93

,5Pex）:.,,Ridciba都有

.0,0,0,10,,kdjciba

也就是说：R中每一个元素可以由上述四个“数”表达，并且可验证：这种表达是唯一的。

既然，R是由这四个“数”控制着，所以称R为四元数除环也就是非常自然的了。

域的计算规则：

如果R是一个除环，那么*R就是一个乘群。由群的定义知，*,abR，方程bax,

yab在*R中有唯一解。显然，ba1是第一个方程的解，而1ba是第二个方程的解.

我们称ba1为“

a

左除b”,称1ba为“a右除b”，因为除环未必能交换，所以未

必有但在域中，就没有左除与右除之分了.我们有

ba1=1ba



,

a

b

并称

a

b

为“b除以

a

所得的商”（或“

a

除b的商”）

在域F中，Fba,只要0a，那么

a

b

有意义且有下列性质：

①若,0,0ca则bcad

c

d

a

b

②.

ac

adbc

c

d

a

b



③

ac

bd

c

d

a

b

④

ad

bc

c

d

a

b

.

证明:①cbaddaccbacadcba

c

d

a

b

1111

②111111

bd

abcdccabcdaa

ac

=.11

ac

adbc

adbcca





③

ac

bd

bdcadcba

c

d

a

b

1111.

④bacdbadc

dc

ba

c

d

a

b

111

1

1

1

1











=

ad

bc

bcadbcda



1

11.

结论3.设R是一个有限的非零环，那么

R是域是整环。

证明：显然.

R是整环是无零因子环

2结论

R是除环

可换R

R是域.