sint

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高等数学第六章答案

第六章定积分的应用

第二节定积分在几何上的应用

1?求图中各阴影部分的面积?

（1）

(2)11.6

32?3

32(4)?3(3)

2.求由下列各曲线所围成的图形的面积?

(1)6??

(2)4?33?ln2?2

1(3)e??2?e

(4)b?a

93??4

14?（1）?21（2）?43

5?(1)?a2?

(2)32?a?8

2(3)18?a??

6?（1

）2?

（2）?4??35?4

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（3

）及?2?cos2?

?

6?12

7．求下列已知曲线所围成的图形?按指定的轴旋转所产生的旋

转体的体积：

（1）y?x和x轴、向所围图形，绕x轴及y轴。2

1

（2）y?x2和y2?8x,绕x及y轴。

2（3）x??y?5??16,绕x轴。2

（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，绕。

（5）摆线x=a?t-sint?,y?a?1?cost?的一拱,y?0，绕x轴。

??482413（1,;(2)?,?;(3)160?2;(4)?;(5)5?2a3.52556

8．由y?x3?x?2?y?0所围成的图形?分别绕x轴及y轴旋转?计

算所得两个旋转体的体积?

128??7

64?Vy?5Vx?

9．把星形线x2/3?y2/3?a2/3所围成的图形?绕x轴旋转?计算

所得旋转体的体积?

10．（1）证明由平面图形0?a?x?b?0?y?f(x)绕y轴旋转所成的旋

转体的体积为V?2?32?a3105?xf(x)dx?证明略。a

2b（2）利用题（1）结论?计算曲线y?sinx(0?x??)和x轴所

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围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积?2?

11．计算底面是半径为R的圆?而垂直于底面上一条固定

直径的所有截面都是等边三角形的立体体积?

3R?223

12．计算曲线y?x2上相应于3?x?8的一段弧的弧长。1233

213．计算曲线y?ln(1?x)上相应于0?x?11的一段弧的弧长。ln3?22

?x?acos3t14．求星型线?的全长。

6a3y?asint?

2

15．求曲线??a?1?cos??的周长。8a

第三节定积分的应用

第四节

1?由实验知道?弹簧在拉伸过程中?需要的力F(单位?N)与伸

长量s(单位?cm)成正比?即F?ks(k为比例常数)?如果把弹簧由原长

拉伸6cm?计算所作的功?18k(牛?厘米)

解将弹簧一端固定于A?另一端在自由长度时的点O为坐标原

点?建立坐标系?功元素为dW?ksds?所求功为

W??ksds?1ks2

0?18k(牛?厘米)?0266

2．直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸

汽?设温度保持不变?要使蒸汽体积缩小一半?问需要作多少功？

800?ln2(J)?

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解由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000??P(x)?800

80?设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变?高度减小x厘米

时压强为P(x)牛/厘米2?则?

功元素为dW?(??102)P(x)dx?

所求功为

W??40

0408001dx?800?ln2(J)?(??10)?dx?80000??080??80??2

3．设地球的质量为M，半径为R，现要将一个质量为m的物体

从地球表面升高到h处，问需要做多少功（设引力系数为G）？GmMh

R?h4．半径为R的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心C

沿其轨迹移动的距离S时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力

偶的功

解圆柱体做平面运动，由运动学知，点B为圆柱体的速度

瞬心，由式（11-16）知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静滑动摩

擦力的功为零。

3

滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩M=?

来计算所以它的元功为

?W??Md?=-

如FN?FnRdsFN及R均为常量，滚动一段路程S后滚动摩阻力偶

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的功为W=??FS?Fnds=-ns-0RR

可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值与圆柱半径成反比

5．设一锥形贮水池?深15m?口径20m?盛满水?今以唧筒将

水吸尽?问要作多少功？解在水深x处?水平截面半径为

r?10?2x?功元素为3

dW?x??r2dx??x(10?2x)2dx?3

x(10?2x)2dx0315

15所求功为W(100x?40x2?4x3)dx09

?1875(吨米)?57785.7(kJ)?

6?有一闸门?它的形状和尺寸如图?水面超过门顶2m?求闸

门上所受的水压力?205?

8(kN)?

解建立x轴?方向向下?原点在水面?

水压力元素为

dP?1?x?2dx?2xdx?

闸门上所受的水压力为

P?2?xdx?x22?21(吨)=205?8(kN)?

2554

7?洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体?尺寸如图所示?当

水箱装满水时?计算水箱的一个端面所受的压力?17.3(kN)?

解建立坐标系如图?则椭圆的方程为

(x?3)2y2??1?12(2

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4

压力元素为

dP?1?x?2y(x)dx?x?8)2?(x?)2dx?344

P??3

2所求压力为

0x?8()2?(x?2dx?8?2?3(1?sint)?3cost?3costdx3443?2444

??

?9?2cos2tdx?9?4016(吨)?17.3(kN)?

(提示?积分中所作的变换为x?3?3sint)44

8?有一等腰梯形闸门?它的两条底边各长10m和6m?高为

20m?较长的底边与水面相齐?计算闸门的一侧所受的水压力?

14388(千牛)

解建立坐标系如图?直线AB的方程为

y?5?1x?10

dP?1?x?2y(x)dx?x?(10?1x)dx?5压力元素为

所求压力为

5

P??x?(10?1x)dx?1467(吨)?14388(千牛)?0520

9．一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片?铅直地沉没在水中?

顶在上?底在下且与水面平行?而顶离水面3cm?试求它每面所受

的压力?

解建立坐标系如图?

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腰AC的方程为y?2x?压力元素为3

dP?(x?3)?2?2x?dx?4x(x?3)dx?33

所求压力为

6P??4x(x?3)dx?4(1x3?3x2)0?168(克)(牛)?033326

10?设有一长度为l、线密度为?的均匀细直棒?在与棒的一端垂

直距离为a单位处有一质量为m的质点M?试求这细棒对质点M的

引力?

解建立坐标系如图?在细直棒上取一小段dy?引力元素为

dF?G?m?dyGm??22dy?22a?ya?y

dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为

lGm?Gm?laFx??(??22dy??aGm??22122dy??00(a?y)?yra?yaa2?l2lydFx??

adF?dFy?dF?rr

?

总复习题六

6lyGm?1)Fy22dy?Gm??22122dy?Gm?(1?20ra?y0(a?y)?ya?l2l

1．填空题：

（1）曲线y?x2与y?2x?x2直线围成所界区域的面积为13

（2）曲线y2?2x?6与直线y?x?1所界区域的面积为18

（3

）曲线y??0上相应于0?x??的一段弧长为4

22(4)圆盘x2?y2?a2绕x??b(b>a>0)旋转所成旋转体的体积

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2ab?

（5）一圆盘的半径为R，而密度为，其中?为圆盘上一点到

圆心的距离，则其质量M2??R

0d?

(6)半径为的球沉入水中，它与水面相切，密度与水相同，若将

球从水中取出，则做的功。

2．求抛物线y?3?2x?x与Ox轴所围成图形的面积。

3．求抛物线y?x与y??x?4所围成图形的面积。

4．求圆x?y?r的面积、圆周长。

5．求双纽线r?acos2?的面积。

6．求心脏线r?a(1?cos?)绕极轴旋转所成旋转体体积。22222222

7．求摆线??x?a(t?sint),(0?t?2?)与x轴围成图形的面积，弧长，

绕x轴旋转体体积。?y?a(1?cost),

xx?aax8．求悬链线y?(e?ea)?ach,(x?a)下的曲边梯形的面积，弧长，

绕x轴旋转体2a

体积。

9．抛物线y?2px,(0?x?a)绕x轴旋转所得旋转抛物面的体积。

2210．证明曲线y?sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x?y?2的周

长。2

x2y2z2

11．求椭球体2?2?2?1的体积。abc

7

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12．设有一半径为R，长度为l的圆柱体平放在深度为2R的水池

中（圆柱体的侧面与水面相

切）。设圆柱体的比重为?(??1)，现将圆柱体从水中移出水面，问

需做多少功？

13．一块高为a，底为b的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，

顶在下，底与水面相齐，

试计算薄板每面所受的压力。

14．用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入

木板的深度成正比，在铁锤

击第一次时能将铁钉击入木板内1cm，如果铁锤每次打击铁钉所

做的功相等，问铁锤击第二次时，能将铁钉又击入多少cm？

答案：

22．解：y?3?2x?x?(3?x)(1?x),令y?0得x??3or1。

故抛物线与Ox轴交点为(?3,0)及(1,0)，所求图形为Ox轴上半部

分。S??1

?3f(x)dx??(3?2x?x2)dx??3132。3

3．解：两条抛物线交点为(2,?2),(2,2)。则S??2

?2[(?y2?4)?y2]dy?2?(4?2y2)dy?02162。3

?4．解：由对称性，只需考虑第一象限，

S1??r

021?cos2t?rdt?；r?xdxx?rsint?2rcost?rcostdt?r?20024?222

故圆面积为S??r。2

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?x?rcost,由圆的参数方程?，求周长只需考虑第一象限，y?rsint,?

?

2222

0?0l1??2rsint?rcostdt?r?2dt?

圆周长l?4l1?2?r。?r2；

8

15．解：S?4??4r2(?)d??2?4a2cos2?d??a2sin2?4?a2。0200

?x?rcos??a(1?cos?)cos?6．解：?y?rsin??a(1?cos?)sin??

V

0a2(1?cos?)2sin2?d(a(1?cos?)cos?)

?

0??a3?(1?cos?)2(1?2cos?)sin3?d?

t?cos??a

7．解：S?38322(1?t)(1?2t)(1?t)dt??a。??131?2?

0y(t)x?(t)dt??a(1?cost)a(1?cost)dt?a2?(1?cos2t)dt?3?a3；00

2?2?ta2(1?cost)2?a2sin2tdt?2a?sin?8a；022?2?l??2?

0x?(t)]2?[y?(t)]2dt??

2?2?0Vy2(t)dx(t)a2(1?cost)2d(a(t?sint))??a3?(1?cost)3dt?5?2a3

0002?

8．解：S?

aax2y(x)dx?ach?2ash1；??a??aaala?[y?(x)]2dx??

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a2aa?aaxx?(sh)2dx??chdx?2ash1；?aaax1Vy(x)dxa2(ch)2dx??a3

(1?sh2)。?a?aa2

9．解：Va

0ydx2pxdx??pa2。02a

10．证：曲线y?sinx的一个周期的弧长为

L1??2?

0?y?2dx??

222?0?cos2xdx；对于椭圆2x?y?2，由于其参数方程为?

故L2?

?

?x?cost?y?2sint?02?0x?(t)]2?[y?(t)]2dtcos2tdt??2?02?0(?sint)2

(2cost)2dt2cos2xdx；9

可见L1?L2。

11．解：用垂直于x轴的平面截椭球，交x轴于x?[?a,a]，所得

截面为椭圆y2z2x2

?2?1?2,即2bcay2(b?x2)2a2?z2(c?x2)2a2?1,于是此椭圆的面积为

S(x)??bc

a2

a?bc422(a?x)dx??abc。从而椭球体的体积为Vaa23

12．解：建立如图所示坐标系，把平放的圆柱

体从水中移出，相当把每一个水平薄板提高2R，

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所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功

及从水面提高到R?y高度提升力所做的功之和；

水下部分提升力F1?(??1)2xldy，

所以dw1?(??1)2xl(R?y)dy,

水上部分提升力F1?(a2?x2)，?2xldy，

dw2??2xl(R?y)dy,22故dw?dw1?dw2?2lR?y[(2??1)R?y]dy，因此

w??R

?R2lR2?y2[(2??1)R?y]dy?(2??1)l?R3。

13．解：如图所示，取水平面上的底为x轴，则AB直线的方程

为

xybb??1,?x??y,ba22a

2

b所以ds?

2xdy?(a?y)dyaby(a?y)dy，dp??yds?a

故此三角形板每面所受压力为

10

p??a

0b1(ay?y2)dy?a2b。a6

y

14．解：设击入深度为xcm，则F?kx，击第一次时所做的功为

w1??1

0Fdx??kxdx?01k，2

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设在第二次锤击时，铁钉击入木板内总深度H，则第二次锤击所

做的功为wHk

2??1kxdx?2(H2?1)，由于wkk2

1?w2?2?2(H?1),所以H?,第二次击入的深度为(2?1)cm。

11