开普勒三定律

万有引力推导开普勒定律之南宫帮珍创作

牛顿万有引力定律说明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互

吸引。该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的

平方成反比。由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定

的。用方程式暗示，

；

这里，是太阳作用於行星的万有引力、是行星的质量、

是太阳的质量、是行星相对于太阳的位移向量、是的单位

向量。

牛顿第二定律声明：物體受力後所发生的加速度，和其所受的

淨力成正比，和其質量成反比。用方程式暗示，

。

合并这两个方程式，

。(1)

思考位置向量，随时间微分一次可得到速度向量，再微

分一次则可得到加速度向量：

，

。(2)

在这里，我们用到了单位向量微分方程式：

，

。

合并方程式(1)与(2)，可以得到向量运动方程式：

取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速

度，另一个是关于切向加速度：

，(3)

。(4)

导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的角动量

。由于行星的质量是常数，角动量随时间的导数为

。

角动量也是一个运动常数，即使距离与角速度都可能会随

时间变更。

从时间到时间扫过的区域，

。

行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间。所以，开

普勒第二定律是正确的。

[编辑]开普勒第一定律导引

设定。这样，角速度是

。

随时间微分与随角度微分的关系为

。

随时间微分徑向距離：

。

再微分一次：

。

代入径向运动方程式(3)，，

。

将此方程式除以，则可得到一个简单的常係数非齐次线性

全微分方程式来描述行星轨道：

。

特征方程式为

。

求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式，

。

其特解方程式为

；

这里，与都是任意积分常数。综合特征方程式与特解方程

式，

。

选择坐标轴，让。代回，

。

假若，则所描述的是椭圆轨道。所以，开普勒第一定律

是正确的。

[编辑]开普勒第三定律导引

在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律

是牛顿依据的重要线索之一。假若我们接受牛顿运动定律。试想

一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧呈圆形，轨

道半径为。那末，太阳作用于行星的万有引力为。

行星移动速度为。依照开普勒第三定律，这速度与半

径的平方根成反比。所以，万有引力。猜测这大概

是牛顿发现万有引力定律的思路，虽然我们其实不克不及完全确

定，因为我们无法在他的计算本裡，找到任何关于这方面的证

据。

行星环绕太阳（焦点F1）的椭圆轨道。

开普勒第一定律说明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。椭圆的

面积是；这里，与分别为椭圆的半長軸与半短軸。在开

普勒第二定律导引里，行星－太阳连线扫过区域速度为

。

所以，行星公转周期为

。(5)

关于此行星环绕太阳，椭圆的半長軸，半短軸与近拱距

（近拱点A与引力中心之间的距离），远拱距（远拱点B与

引力中心之间的距离）的关系分别为

，(6)

。(7)

如果想要知道半長軸与半短軸，必须先求得近拱距与远拱距。依

据能量守恒定律，

。

在近拱点A与远拱点B，径向速度都等于零：

。

所以，

。

稍为加以编排，可以得到的一元二次方程式：

。

其兩個根分别为椭圆轨道的近拱距与远拱距。

；

。

代入方程式(6)与(7)，

，

。

代入方程式(5)，周期的方程式为

。