黎曼可积

1

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

数学系1302班第五组

07樊萌

12韩鸿林

19兰星

21李鸿燕

45王堃

51武相伶

54许小亭

57杨莉

69赵志阳

2

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1、黎曼积分定义：设xf

在ba,

上有界,对ba,

做分割,bxxxaT

n



10

,其中

令

ii

xxxfM,sup,

ii

xxxfm,inf,

iii

xxx

1

,

1

1





ii

n

i

i

xxms



1

1





ii

n

i

i

xxMS,若有

则称xf

在ba,

上黎曼可积.

2、勒贝格积分定义：,

0,作Myyym

n



10

,,其中

1ii

yy,M,m分别为xf

在E上的上界和下界,

令

iii

yxfyxE

1

,,ni,2,1若

i

n

i

i

mEy







1

1

0

lim



存在,则xf

勒贝格可积.

3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E上可测,若记0,maxxfxf，

0,minxfxf,则有xfxfxf,若dxxf

E

,dxxf

E

_不同时为,则xf

在

E上的积分确定且

dxxfdxxfdxxf

EEE

.

4、简单函数的勒贝格积分定义:设xf是可测集

E

上的非负简单函数,于是有对

E

的划分

i

E,ni2,1,xf在

i

E上的取值为

i

c,则

i

E

n

i

i

cxf





1

,定义xf

的勒贝格积分为



i

n

i

i

E

mEcdmxf







1

,若dmxf

E

,则称xf

在

E

上勒贝格可积.

5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取

E

上的非负简单函数列xf

n

,对任意的Ex,xf

n

都

收敛于xf

,则xf

在

E

上勒贝格可积其积分为

dmxfdmxf

EE

n

n





lim.

对一般的函数由于xfxfxf,则

dmxfdmxfdmxf

EEE



.

3

若左端的两个积分值都有限时,称xf

在

E

上勒贝格可积.

勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数

不一定黎曼可积.

黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较

黎曼可积的条件

㈠黎曼可积的条件必要条件

定义在ba,

上的xf

黎曼可积的必要条件是xf

在ba,

上有界.

注任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积.

㈡黎曼可积的充分必要条件

1、设xf

是定义在ba,

上的有界函数,则xf

黎曼可积的充分必要条件为xf

在ba,

上的

黎曼上积分等于黎曼下积分.即

设xf

在ba,

上有界,bxxxaT

n



10

为对ba,

的任一分割,其中令



ii

xxxfM,sup,

ii

xxxfm,inf,

iii

xxx

1

,

1

1





ii

n

i

i

xxms,



1

1





ii

n

i

i

xxMS,ni,2,1有

dxsdxS

b

a

b

a

.

2、设xf

是定义在ba,

上的有界函数,则xf

黎曼可积的充分必要条件为

0,总存在某

一分割T,使得



iiii

n

i

i

mMwxw





1

.

3、设xf

是定义在ba,

上的有界函数,则xf

黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某

一分割T,使得

TsTS成立.

4、定义在ba,

上的函数xf

黎曼可积的充分必要条件为xf

在ba,

上的一切间断点构成一

个零测度集.

注这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.

4

勒贝格可积条件

1、设xf

是定义在可测集

E

上的有界函数,则xf

在

E

上勒贝格可积的充要条件为

0,

总存在

E

的某一分割D,使得

i

i

i

mEw.

2、设xf

是定义在可测集

E

上的有界函数,则xf

在

E

上勒贝格可积的充要条件为xf

在

E

上勒贝格可测.

3、设xf

在ba,

上的黎曼反常积分存在,则xf

在ba,

上勒贝格可积的充要条件为xf在

ba,

上的黎曼反常积分存在,且有









b

aba

dxxfdmxf

,

.

4、设xf

n

为

E

上的可测函数列,xf

n

在

E

上的极限函数几乎处处存在,且Mdxxf

E

n

,则

xf

在

E

上勒贝格可积.

5、设xf

是是定义在可测集

E

上的连续函数,则xf

在

E

上勒贝格可积的充要条件为xf

在

E

上勒贝格可测.

黎曼积分与勒贝格积分的性质比较

黎曼积分的性质

1、（线性性）若xf

,xg

是定义在ba,

上黎曼可积函数,则

xgxf,xgxf,xgxf也在ba,

上黎曼可积.

注dxxgdxxfdxxgxf

b

a

b

a

b

a

,但dxxgdxxfdxxfxg

b

a

b

a

b

a

.

2、（区域可加性）设有界函数xf

在ca,,bc,上都黎曼可积,则xf

在ba,

上也黎曼可积,

且有

dxxfdxxfdxxf

b

c

c

a

b

a



.

3、（单调性）若xf

,xg

是定义在ba,

上黎曼可积,且xgxf,则

5

dxxgdxxf

b

a

b

a

.

4、（可积必绝对可积）若xf

在ba,

上黎曼可积,则xf在ba,

上也黎曼可积,且有

dxxfdxxf

b

a

b

a



.

注其逆命题不成立.

5、若xf

在ba,

上黎曼可积,则在ba,

的任意内闭子区间ba,,上也黎曼可积.且其积

分值不会超过在ba,

上的积分值.

6、若xf

是ba,

上非负且连续的函数,若有0

1

0

dxxf,则xf

在ba,

上恒等于零.

7、若xf

,xg

是ba,

上的黎曼可积函数,则xgxfM,max,xgxfm,min在

ba,

上也黎曼可积.

8、若xf

在ba,

上黎曼可积,

xf

1

在ba,

上有定义且有界,则

xf

1

也在ba,

上黎曼可积.

勒贝格积分的性质

1、（有限可加性）设xf是有界可测集E上的可积函数,

K

n

k

EE

1

,

K

E等均可测且两两互不

相交,则有

dxxfdxxfdxxfdxf

n

EEEE



21

x

.

2、对于给定的可测函数xf

,xf

与xf的可积性相同且

dxxfdxf

EE

x.

3、(单调性)若xf

,xg

在E上勒贝格可积,且xgxf几乎处处成立,则

dxxgdxf

EE

x.

4、xf

是

E

上的非负可积函数,则xf

在

E

上是几乎处处有限的.

5、xf是E上的非负可测函数,若xf

在

E

上几乎处处等于0,则0xdxf

E

.

6、(零测集上的积分)若0mE,则0dxxf

E

.

6

7、xf

是

E

上的勒贝格可积函数,0xf

在

E

上几乎处处成立,则0xdxf

E

.

8、设xf在E上可测,若存在非负函数xg在可测集E上勒贝格可积,xgxf几乎处处成

立,则xf在可测集E上勒贝格可积.

9、xf在可测集E上勒贝格可积,A是

E

的可测子集,则xf

在A上也勒贝格可积.且其积分

值不会超过在E上的积分值.

10、设xf

在

E

上可测,则0xdxf

E

的充要条件是0xf在

E

上几乎处处成立.

11、设xf

,xg均在

E

上勒贝格可积,则xgxfM,max,xgxfm,min也

在

E

上勒贝格可积.

12、若xf

与xg在

E

上几乎处处相等,则xg也可积,且

dxxgdxxf

EE

.

13、设xf在可测集E上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数

14、设xf为可测集E上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数xg,使得xg

导函数在E

上几乎处处等于xf

.

黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较

与黎曼积分相关的定理

⒈若函数列xf

n

在区间I上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数xf

也在I上连续.

⒉（可积性）若函数列xf

n

在区间I上一致收敛,且每一项都连续,

dxxfdxxf

b

a

n

n

n

b

a

n





limlim.

⒊（可微性）设xf

n

为定义在ba,

上的函数列,若bax,

0

为xf

n

的收敛点,且xf

n

的每一

项在ba,

上都有连续的导数,xf

n



在ba,

上一致收敛,则

xf

dx

d

xf

dx

d

n

n

n

n

limlim

.

⒋有界收敛定理设xf

n

是定义在ba,

上的黎曼可积函数.

⑴baxnMxf

n

,,2,1.

7

⑵xf

是定义在ba,

上的黎曼可积函数.且xfxf

n

n





lim

.则有

dxxfdxxf

b

a

b

a

n

n





lim.

与勒贝格积分相关的定理

⒈（勒维定理）设可测集E上的可测函数列xf

n

满足如下条件:

xfxf

21

0,xfxf

n

n





lim,则xf

n

的积分序列收敛于xf

的积分

dxxfdxf

E

n

n

E





limx.

⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E上的可测函数列xf

n

满足如下条件:

⑴xf

n

的极限存在,xfxf

n

n





lim.

⑵存在可积函数xg

使得NnExxgxf

n

,,那么xf

可积,有

dxxfdxf

E

n

n

E





limx.

⒊设mE,E上的可测函数列xf

n

满足如下条件:

⑴NnExxgxf

n

,,,xg

可积.

⑵xf

n

依测度收敛于xf

,那么xf

可积,有

dxxfdxf

E

n

n

E





limx.

⒋设xf

n

是ba,

上的增函数列,且有xf

n

n

1

在ba,

上收敛,则

xf

dx

d

xf

dx

d

n

nn

n





















11

.