二元函数求极限

第二节二元函数的极限

1、试求下列极限（包括非正常极限）：

（1）

(,)(0,0)

lim

xy

x2y2

x2+y2

；（2）

(,)(0,0)

lim

xy

1+x2+y2

x2+y2

；

（3）

(,)(0,0)

lim

xy

x2+y2

1+x2+y2-1

；（4）

(,)(0,0)

lim

xy

xy+1

x4+y4

；

（5）

(,)(1,2)

lim

xy

1

2x-y

；（6）

(,)(0,0)

lim

xy

(x+y)sin

1

x2+y2

；

（7）

(,)(0,0)

lim

xy

sin(x2+y2)

x2+y2

x2+y2.

2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：

（1）f(x,y)=

y2

x2+y2

；（2）f(x,y)=(x+y)sin

1

x

sin

1

y

；

（3）f(x,y)=

x2y2

x2y2+(x-y)2

；（4）f(x,y)=

x3+y3

x2+y

；

（5）f(x,y)=ysin

1

x

；（6）f(x,y)=

x2y2

x3+y3

；

（7）f(x,y)=

ex-ey

sinxy

.

3、证明：若1

。

(a,b)

lim

（x,y）

f(x,y)存在且等于A；2

。

y在b的某邻域内，有

lim

xa

f(x,y)=(y)则

yb

lim

a

lim

x

f(x,y)=A.

4、试应用ε—δ定义证明

(x,y)(0,0)

lim

x2y

x2+y2

=0.

5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定

理.

6、试写出下列类型极限的精确定义：

（1）

(x,y)(,)

limf(x,y)=A；（2）

(x,y)(0,)

limf(x,y)=A.

7、试求下列极限：

（1）

(x,y)(,)

lim

x2+y2

x4+y4

；（2）

(x,y)(,)

lim(x2+y2)e-(x+y)；

（3）

(x,y)(,)

lim

(1+

1

xy

)xsiny；（4）

(x,y)(,0)

lim

2

1

1+

x

xy

x

.

8、试作一函数f(x,y)使当x+,y+

时，

（1）两个累次极限存在而重极限不存在；

（2）两个累次极限不存在而重极限存在；

（3）重极限与累次极限都不存在；

（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在.

9、证明定理及其推论3.

10、设f(x,y)在点

0

P

(x

0

,y

0

)的某邻域U

。

(

0

P

)上有定义，且满足：

（i）在U

。

(

0

P

)上，对每个y≠y

0

，存在极限

0

lim

xx

f(x,y)=ψ(y)；

（ii）在U

。

(

0

P

)上，关于x一致地存在极限

0

yy

lim

f(x,y)=(x)(即对任意ε

>

0，

存

在δ>0，当0<

|y-y

0

|

<δ时，对所有的x，只要(x,y)∈

U

。

(

0

P

)，都有

|f(x,y)-(x)|<

成立

).

试证明

0

lim

xx

0

lim

yy

f(x,y)=

0

lim

yy

0

lim

xx

f(x,y).