线面平行的判定定理

1

线与平面平行的判定定理

线与平面平行的判定定理为：利用定义：证明直线与平面无公共点；

利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；利用面面平

行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

线面平行判断定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平

行。

已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a∥α反证法证明：假设a与α不

平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α

∵a∥b，∴A不在b上

在α内过A作c∥b，则a∩c=A

又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。

∴假设不成立，a∥α

向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法

向量为p。∵b⊂α

∴b⊥p，即p·b=0

∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb

那么p·a=p·kb=kp·b=0

即a⊥p

∴a∥α

2

平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求证：a∥α证明：设a与b

的垂足为A，b与α的垂足为B。

假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在

直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC

∵B∈α，C∈α，b⊥α

∴b⊥BC，即∠ABC=90°

∵a⊥b，即∠BAC=90°

∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。

∴假设不成立，a∥α