立方怎么计算

1/5word.

专题二立方和（差）公式、和（差）的立方公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式22()()ababab；

（2）完全平方公式222()2abaabb。

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式2233()()abaabbab；

（2）立方差公式2233()()abaabbab；

（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；

（4）两数和立方公式33223()33abaababb；

（5）两数差立方公式33223()33abaababb。

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。

反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。

例1计算：

（1）2(32)(964)yyy；

（2）22

151

(5)(25)

224

xyxxyy；

（3）2(21)(421)xxx。

分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算.

解：（1）原式=3333(2)278yy；

（2）原式=3333

11

(5)()125

28

xyxy；

（3）原式=322328424218841xxxxxxxx。

说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项

式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因

式中“2x”改成“2x”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x”改成“4x”，

可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算

23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261xxxxxxxxx。

例2计算：

（1）3639(1)(1)(1)xxxx；

（2）22(1)(1)(1)(1)xxxxxx；

（3）2222(2)(24)xyxxyy；

2/5word.

分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键.

解：（1）原式9918(1)(1)1xxx；

（2）解法一：原式22336[(1)(1)][(1)(1)](1)(1)1xxxxxxxxx；

解法二：原式22(1)(1)[(1)][(1)]xxxxxx

2222(1)[(1)]xxx

242(1)(1)xxx

61x；

（3）原式222[(2)(24)]xyxxyy

332(8)xy

63361664xxyy。

说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解

法就比较麻烦.

例3因式分解：

（1）33125xy；

（2）427aa；

（3）66xy。

分析：对照立方和（差）公式，正确找出对应的,ab是解题关键，然后再利用立方公式分解

因式。

解：（1）原式3322()5(5)(525)xyxyxyxy；

（2）原式3332(127)[1(3)](13)(139)aaaaaaaa

（3）原式

323233332222()()()()()()()()xyxyxyxyxxyyxyxxyy。

说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不

彻底。

例４设5,1xyxy,试求33xy的值。

3/5word.

分析：对于立方和公式3322()()ababaabb，我们不难把它变成：

332()[()3]abababab，即333()3()abababab，再应用两数和、两数

积解题较为方便。

解：3333()3()53(1)5140xyxyxyxy。

说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。

例5如果ABC的三边,,abc满足3222230aababacbcb，试判断ABC的

形状。

分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形

三边之间的关系。

解：因为3222230aababacbcb，

所以332222()()0abababacbc，

即222()()()()0abaabbababcab，

222()(c)0abab，

所以ab或222abc，

因此ABC是等腰三角形或直角三角形.

说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形.

练习

1.计算：

（1）2(4)(164)aaa；

（2）22

121

(2)(4)

339

abaabb；

（3）2(1)(1)xxx；

（4）22(2)(24)(2)xxxxx。

2.计算：

（1）222(2)(2)(24)(24)xxxxxx；

4/5word.

（2）3(23)xy；

（3）3

1

(5)

3

b；

（4）323(1)(1)mmm。

3．分解因式：

（1）33(21)xx；

（2）33278xy；

（3）33

1

2

4

xy；

（4）664m。

4．化简：

abaabb

abaabb







。

5．若0abc，求证：32230aacbcabcb。

6．（1）已知2mn，求336mnmn的值；

（2）已知：1xy，求333xyxy的值.

7．已知两个正方体，其棱长之总和为48cm，体积之和为28cm3，求两个正方体的棱长.

8.已知1ab，求333aabb的值。

9.已知2,48abab，求44ab的值。

10.已知实数,,abc满足0abc，2223331,2,abcabcabc，求abc的值。

答案：

1．（1）364a；（2）33

1

8

27

ab；（3）31x；（4）2448xx。

2．（1）664x；（2）32238365427xxyxyy；

（3）23

51

12525

327

bbb；（4）963331mmm。

3、（1）2(31)(331)xxx；（2）22(32)(964)xyxxyy；

（3）22

1

(2)(42)

4

xyxxyy；（4）22(2)(2)(24)(24)mmmmmm。

5/5word.

4．2

b

5．提示：322322()()0aacbcabcbabcaabb。

6．（1）-8（2）1

7．两个正方体的棱长分别为1cm和3cm.

8.1

9.5392

10.

1

6

（兴化市第一中学张俊）

最新文件仅供参考已改成word文本。方便更改