复数公式

复数概念及公式总结(总3页)

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数系的扩充和复数概念和公式总结

1.虚数单位i:

它的平方等于-1，即21i

2.

i

与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，

方程x2=－1的另一个根是－i

3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1

4.复数的定义：形如(,)abiabR的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复

数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z

表示，即(,)zabiabR

5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)abiabR，当

且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚

数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚

数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.

6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们

就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di



a=c，b=d

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一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都

是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小

7.复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫

做虚轴实轴上的点都表示实数

（1）实轴上的点都表示实数

（2）虚轴上的点都表示纯虚数

（3）原点对应的有序实数对为(0，0)

设z

1

=a+bi，z

2

=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，

8．复数z

1

与z

2

的加法运算律：z

1

+z

2

=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

9.复数z

1

与z

2

的减法运算律：z

1

-z

2

=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

10.复数z

1

与z

2

的乘法运算律：z

1·

z

2

=(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

11.复数z

1

与z

2

的除法运算律：z

1÷

z

2

=(a+bi)÷(c+di)=i

dc

adbc

dc

bdac

2222









（分母实数化）

12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互

为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数

z

的共轭复数为z。例如

z

=3＋5i与z=3－5i互为共轭复数

13.共轭复数的性质

（1）实数的共轭复数仍然是它本身

（2）

2

2ZZZZ

（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称

14.复数的两种几何意义：15几个常用结论

（1）ii212

，（2）

ii212

（3）i

i



1

，（4）i

i

i







1

1

点),(baZ

向量

OZ

一一对应

一一对应

一一对应

复数RbabiaZ,

44

16.复数的模：（5）i

i

i







1

1

复数

biaZ

的模22baZ

（6）22babiabia