零点分段法

绝对值大全(零点分段法、化简、

最值)

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绝对值大全（零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值

符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等

式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因

此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关

键。

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x|=(0)

(0)

xx

xx











，有

|x|

(0)

(0)

cxcc

c













；|x|>c

(0)

0(0)

(0)

xcxcc

xc

xRc

















或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

3

4

4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数

1

x，

2

x，……，

n

x

分别使含有|x－

1

x|，|x－

2

x|，……，|x－

n

x|的代数式

中相应绝对值为零，称

1

x，

2

x，……，

n

x为相应绝对

值的零点，零点

1

x，

2

x，……，

n

x将数轴分为m+1

段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代

数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符

号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的

值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值

不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是

解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法

主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它

可以把求解条理化、思路直观化。

5利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用

绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数

轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、

5

直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于

||||xaxbm或||||xaxbm(m为正常数)类型不等式。

对||||axbcxdm(或

二、如何化简绝对值

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中

考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数

学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题

的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号

化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确

定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符

号的方法大致有三种类型。

（一）、根据题设条件

例1：设化简的结果是（）。

（A）（B）（C）（D）

6

思路分析：由可知可化去第一层

绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再

用同样方法化去．

解：

∴应选（B）．

归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式

是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉

绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．

（二）、借助数轴

例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，

则代数式的值等于（）．

（A）（B）（C）

（D）

思路分析由数轴上容易看出

，这就为去掉绝对值符号

扫清了障碍．

7

解：原式

∴应选（C）．

归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴

上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：

1．零点的左边都是负数，右边都是正数．

2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．

3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个

要点就能从容自如地解决问题了．

（三）、采用零点分段讨论法

例3：化简

思路分析本类型的题既没有条件限制，又没

有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零

点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能

确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为

负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论．

解：令得零点：；令得零点：，

把数轴上的数分为三个部分（如图）

8

①当时,

∴原式

②当时，，

∴原式

③当时，，

∴原式

∴

归纳点评：虽然的正负不能确定，但在

某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段

讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式

为零，求出零点（不一定是两个）．

2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上

的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对

值符号内的部分的正负能够确定．

3．在各区段内分别考察问题．

9

4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的

答案．

误区点拨千万不要想当然地把等都当成

正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错

误的结果．

三、带绝对值符号的运算

在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因

为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。

其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中

数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。

那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下

几个方面着手：

（一）、要理解数a的绝对值的定义。

在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定

义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫

10

做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，

数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论

数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是

一个非负数。

（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。

从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对

值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它

的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生

重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a

的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双

重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。

（三）、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的

几种题型。

1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种

11

情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝

对值是它本身)；

当a=0时，︱a︱=0(性质2：0的绝对

值是0)；

当a<0时；︱a︱=–a(性质3：负数的绝

对值是它的相反数)。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b

的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速

去掉绝对值符号进行化简。

当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b)=a+b(性质1：

正数的绝对值是它本身)；

当a+b=0时，︱a+b︱=(a+b)=0(性质

2：0的绝对值是0)；

当a+b<0时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b(性质3：

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负数的绝对值是它的相反数)。

3、对于形如︱a-b︱的一类问题

同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出

a-b的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝

对值符号进行化简。

但在去括号时最容易出现错误。如何快速去

掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a

与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=

︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b

︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b。

口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，

都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b

︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论

正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱

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=（a-b）=a-b。

5、对于绝对值符号前有正、负号的运算

非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记

打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘

记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！

6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运

算

万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看

成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对

值号，小于0的整体前面加负号。

四、去绝对值化简专题练习

（1）设化简的结果是（B）。

（A）（B）（C）（D）

(2)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则

代数式的值等于（C）。

（A）（B）（C）（D）

14

(3)已知，化简的结果是

x-8。

(4)已知，化简的结果是

-x+8。

(5)已知，化简的结果是

-3x。

(6)已知a、b、c、d满足且

，那么a+b+c+d=0（提示：

可借助数轴完成）

(7)若，则有（A）。

（A）（B）（C）（D）

(8)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，

则式子化简结果为

（C）．

（A）（B）（C）（D）

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(9)有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那

么下列四个式子，中负数的个数是

（B）．

（A）0（B）1（C）2（D）3

(10)化简=

(1)-3x(x<-4)(2)-x+8(-4≤x≤2)(3)3x(x>2)

(11)设x是实数，下列四个结论中正

确的是（D）。

（A）y没有最小值

（B）有有限多个x使y取到最小值

（C）只有一个x使y取得最小值

（D）有无穷多个x使y取得最小值

五、绝对值培优教案

绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习

相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝

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对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数

式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中

距离等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝

对值这一概念，应从以下方面人手：

l．绝对值的代数意义：



















)0(

)0(0

)0(

aa

a

aa

a

2．绝对值的几何意义从数轴上看，a表示数a的点

到原

点的

距离

(长

度，

非

负)

；

ba表示数a、数b的两点间的距离．

3．绝对值基本性质

①非负性：0a；②baab；③)0(b

b

a

b

a；④22

2aaa．

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培优讲解

（一）、绝对值的非负性问题

【例1】若3150xyz，则xyz。

总结：若干非负数之和为

0，。

（二）、绝对值中的整体思想

【例2】已知4,5ba，且abba，那么

ba=．

变式1.若|m－1|=m－1，则m_______1;若|m－

1|>m－1，则m_______1;

（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）

【例3】阅读下列材料并解决有关问题：

我们知道





0

0

0

0





















x

x

x

x

x

x，现在我们可以用这一个结论

来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式

21xx时，可令01x和02x，分别求得2,1xx

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（称2,1分别为1x与2x的零点值）。在有理数范

围内，零点值1x和2x可将全体有理数分成不重

复且不遗漏的如下3种情况：

（1）当1x时，原式=1221xxx;

（2）当21x时，原式=321xx；

（3）当2x时，原式=1221xxx。

综上讨论，原式=





2

21

1

12

3

12





















x

x

x

x

x

通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1）分别求出2x和4x的零点值；（2）化简代

数式42xx

变式1.化简(1)12x；

(2)31xx；

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变式2.已知23xx的最小值是a，23xx的最大

值为b，求ba的值。

（四）、ba表示数轴上表示数a、数b的两点间的

距离．

【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的

对应点间的距离4与2，3与5，2与6，4与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值

有什么关系吗？答：___.

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的

数为―1，则A与B两点间的距离

可以表示为______________.

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（3）结合数轴求得23xx的最小值为，取得

最小值时x的取值范围为___.

（4）满足341xx的x的取值范围为

______.

（5）若1232008xxxxL的值为常数，

试求x的取值范围．

（五）、绝对值的最值问题

【例5】（1）当x取何值时，3x有最小值？这个

最小值是多少？（2）当x取何值时，25x有最大

值？这个最大值是多少？（3）求54xx的最小值。

（4）求987xxx的最小值。

【例6】．已知1,1yx，设421xyyyxM，求

M的最大值与最小值．

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课后练习：

1、若|1|ab与2(1)ab互为相反数，求321ab的值。

2．若1ba与2)1(ba互为相反数，则a与b的大小关

系是()．

A．baB．baC．ba

D．ba

3．已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，

1，一l，那么1a表示()．

A．A、B两点的距离

B．A、C两点的距离

C．A、B两点到原点的距离之和D．A、

C两点到原点的距离之和

4.利用数轴分析23xx，可以看出，这个式子表

示的是x到2的距离与x到3的距离之和，它表示两

条线段相加：⑴当x时，发现，这两条线段

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的和随x的增大而越来越大；⑵当x时，发

现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；⑶当

x时，发现，无论x在这个范围取何值，

这两条线段的和是一个定值，且比⑴、

⑵情况下的值都小。因此，总结，23xx有最小

值，即等于到的

距离

5.利用数轴分析71xx，这个式子表示的是x到

7的距离与x到1的距离之差它表示两条线段相

减：⑴当x时，发现，无论x取何值，这个

差值是一个定值；⑵当x时，发现，

无论x取何值，这个差值是一个定值；

⑶当x时，随着x增大，这个差值渐

渐由负变正，在中点处是零。

因此，总结，式子71xx当x时，

有最大值；当x时，有最小

值；

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9．设0cba，0abc，则c

ba

b

ac

a

cb









的值是（）．

A．-3B．1C．3或-1

D．-3或1

10．若2x，则x11；若aa，则

21aa．

12．设cba、、分别是一个三位数的百位、十位和个

位数字，并且cba，则accbba可能取得的最

大值是．

4、当b为______时，5-12b有最大值，最大值是

_______

当a为_____时，1＋|a+3|有最小值是

_________.

5、当a为_____时，3＋|2a－1|有最小值是

________；当b为______时，1-|2＋b|有最大值是

_______.

2、已知b为正整数，且a、b满足|2a－4|＋b＝1，

求a、b的值。

7.化简：⑴13xx；⑵213xx

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4、如果2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4恒为常数，求

x的取值范围。

7、若|5||2|7xx，求x的取值范围。