比较审敛法

1

正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较

摘要数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相

加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的

结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。

这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常

常被看作级数的首要问题。

在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如

达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新

审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。

关键词数学分析正项级数推广比值审敛法

一.预备知识

1.正项级数的定义如果级数

1

n

n

x





的各项都是非负实数，即0,1,2,,

n

xn则称

此级数为正项级数

2..收敛定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。

若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到

例级数

2

2

1

ln

(1)(1)n

n

n

nn

n













是正项级数。它的部分和数列的通项

2

11

22

112

lnlnlnln2lnln2

(1)(1)11

nn

n

k

kk

kkkn

s

kkkkn

k























，

所以正项级数

2

2

1

ln

(1)(1)n

n

n

nn

n













收敛。

在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的

审敛法。

二.常规审敛法：

1.达朗贝尔审敛法

123

UUU……

n

U……0U，若1limn

n

n

U

L

U







，当

L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。

2

例1考虑级数

2233

1

111111

,

232322n

n

x







则21

11

limlim

2

2

n

n

n

n

nn

x





；

1

1

3

limlim

2

n

n

n

nn

n

x

x







；

1

2

limlim0

3

n

n

n

nn

n

x

x





所以级数收敛

2.拉贝审敛法

123

UUU……

n

U……0U，若1lim(1)n

n

n

U

nL

U







，

则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。

例2判断级数

1

(21)!!1

1

(2)!!21

n

n

nn













的敛散性

解设

(21)!!1

(2)!!21n

n

x

nn







则

21

(21)

limlim1

(22)(23)

n

nn

n

x

n

xnn









，（达朗贝尔审敛法不可用）

2

1

(65)3

lim(1)lim1

2

21

n

nn

n

x

nn

n

x

n









所以级数

1

(21)!!1

1

(2)!!21

n

n

nn













收敛

三.常规审敛法的比较

由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝

审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审

敛法的应用相比较之下更为广泛。

但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。但实际

上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数

有效，而对正项级数

a

u来说，如果1lim1a

n

a

u

u







时，则比值审敛法就无法对级

3

数的敛散性作出审敛。例如，我们不难证明，当

a

u为n的有历史时，总有

1lim1a

n

a

u

u







，也就是说此时比值判定法必定失效。这足以说明比值审敛法的应用

范围很窄，因此需要建立一些更细致因而也就更复杂的审敛法。其中，比较常用

的是下面的拉贝审敛法。

拉贝审敛法：设

a

u是正项级数，如果

1

lim(1)a

n

a

u

np

u





那么，当p>1时级数收

敛：而当p<1时级数发散。（此证明详见数学分析教材）

但是使用拉贝审敛法的时候，求拉贝数串

1

(1)a

a

u

n

u





的极限显然一般要比求达朗

贝尔数串1a

a

u

u

的极限来的复杂。

四.推广比值审敛法：

1.推广比值审敛法法1（隔项比值审敛法）：设正项级数

a

u的项单调递减，如

果2lima

n

a

u

p

u

则p<

1

2

时级数收敛；而当p>

1

2

时级数发散。

2.推广比值审敛法2（双比值审敛法）：对于正项级数

a

u，如果

221

1

limlimaa

nn

aa

uu

p

uu









那么，当p<

1

2

时级数收敛；当p>

1

2

时级数发散。

推论对于正项级数

a

u，如果1lim1a

n

a

u

u







且2lima

n

a

u

p

u



存在，那么当p<

1

2

时

级数收敛；当p>

1

2

时级数发散。

由于这两个审敛法法在内容上又不少相似的地方，我们自然会考虑它们之间的关

系问题。

为此先看一个具体例子。

例3讨论级数

!

n

n

n

ne

的敛散性

4

解：首先难验算有1lim1n

n

n

u

u







，所以达朗贝尔审敛法失效，考虑改用推广比值审

敛法。

先用隔项比值审敛法，因为

1(1)

(1)

n

n

n

n

e

nn



，因此



1

1!1!

nn

nn

nn

nene









，即使

1nn

uu



。在利用斯特林公式12!2()(01)n

n

n

nne

e



，有

222

2

222

22

(2)!(2)!(2)221

limlimlimlim

(2)!(2)!22

2(2)(2)

nnnnnnnn

n

nnnnnn

nn

nnnn

n

u

nnenennenne

unennenne

nne

















所以所给级数发散。

如果对于本题直接用双比值审敛法，则需要计算两个极限，运算较为繁琐。

由于已知1lim1n

n

n

u

u







，因此改用审敛法的推论，只需要推出2

1

lim

2

n

n

n

u

u



，计算过

程与第一种方法相同。但免去了证明级数项的递减性。

由此可见，虽然双比值审敛法比隔项审敛法的形式复杂，但是当对于正项数

级先试用达朗贝尔审敛法出现1lim1n

n

n

u

u







的情况时，如果改用双比值审敛法的推

论，可以不必考虑级数的项是否递减。也就是说，这时双比值审敛法的实用性更

好一些。反之，当容易证明正项级数的项具有递减性时以及2n

n

u

u

比1n

n

u

u

的极限更

容易计算时，就适宜应用隔项比值审敛法。

一般说来，这两种推广比值审敛法不能互相代替，同时也难以比较它们的强

弱。因为，如果2limn

n

n

u

p

u



且{

n

u}递减，则一般并不能推出21limn

n

n

u

u





存在并等于

p；反过来，如果2limn

n

n

u

p

u



=21limn

n

n

u

u





=p存在，则{

n

u}并不一定递减。

五.推广比值审敛法与常规审敛法的比较

我们知道，例3也可以用拉贝审敛法判定其发散性。因此我们自然要考虑上

面的推广比值审敛法与拉贝审敛法之间的强弱问题。也就是要问，对给定的正项

5

级数。如果能用某个推广比值判定法判定敛散性，是否一定能用拉贝审敛法？或

者反过来，能用拉贝审敛法确定敛散性的正项级数是否必定可用前者判定法判

定。这一问题比较复杂，所以本文只给出下面的一些结果。

命题1设

n

u>0，如果

1

lim(1)()n

n

n

u

pp

u



















则有

2

1

lim(

2

0

n

p

n

n

u

p

u



















）

证明当p时，任意取定0，由条件，对一切充分大的n都有

1

(1)

22

n

n

u

pnp

u







（1）记'pp，则不难知道，量

1

(1)'1

lim

1n

p

n

n





等

于函数'(1)px在点x=0的导数，也就是数'p。

因为'

2

pp



，所以对充分大的n，有

1

(1)'1

1

2

p

n

p

n







从而

11

2

(1)(1)'1p

p

p

nnn











因此由（1）式得

1

1

2

1(1)p

n

n

p

u

unn













同理，当n充分大时，有

1

1

(1)p

n

n

u

un







现不妨设0充分小，由上述知有自然数N，使对一切n>N，有

6

1

11

(1)(1)pp

n

n

u

nun







1

2

11

(1)(1)

11

pp

n

n

u

nun











……

21

2

11

(1)(1)

2121

pp

n

n

u

nun







以上n个不等式相乘后再倒数得

2

11

22

n

pp

n

u

u



注意到得任意性取上式的极限得2

1

lim

2

n

p

n

n

u

u



现在设

lim(1)n

n

n

u

n

u



，则0M，自然数

12

M

N，当

1

nN时，有

1

(1)n

n

u

nM

u





所以

1

11

2

n

n

u

MM

unn





1

2

11

12

n

n

u

MM

unn









……

21

2

11

212

n

n

u

MM

unn









又因为2lim(1)lim(1)

22

M

n

nn

MM

e

nn







所以自然数

2

N，当n>

2

N时有(1)

2

n

M

n

<2

M

e,此时2

2

(1)

2

M

n

n

n

u

M

oe

un



7

于是0M，自然数

12

max{,}NNN，当n>N时，有2

2

(1)

2

M

n

n

u

M

oe

un



；

由M的任意性可知：

2

lim0n

n

n

u

u



，即2limn

n

n

u

u



，类似可证

1

lim(1)n

n

n

u

n

u





时

情形。

由此可见，对正项级数

n

u来说，如果拉贝数串

1

(1)n

n

u

n

u





的极限值p分别为大

于（小于）1的数，，；则2limn

n

n

u

u

将分别小于（大于）

1

2

的正数，0及，

从而可得出下面的结论：如果正项级数

n

u的项虽然一般未必递减。但如果

1

lim(1)0n

n

n

u

np

u





，则当n充分大时，有

1

(1)0n

n

u

n

u





，从而有

1nn

uu



，这

从另一个侧面说明了拉贝审敛法与隔项比值法具有一定的内在联系。

六.总结：

由以上可知，达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法是正项级数常规判敛法中应用较

为广泛，实用的两种审敛法，自然对于正项级数来说还有很多的判敛方法，本文

只对达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法这两种较为经典的审敛法与推广比值审敛法

来进行对比总结。

相对的来说，拉贝审敛法比达朗贝尔审敛法更为实用，文上所给例2判断级数

1

(21)!!1

1

(2)!!21

n

n

nn













的敛散性。

因为

(21)!!1

(2)!!21n

n

x

nn







则

21

(21)

limlim1

(22)(23)

n

nn

n

x

n

xnn









由此可见此时达朗贝尔审敛法已不可用，但可用拉贝审敛法得出：

2

1

(65)3

lim(1)lim1

2

21

n

nn

n

x

nn

n

x

n









8

所以级数

1

(21)!!1

1

(2)!!21

n

n

nn













收敛

由此不难看出拉贝审敛法在实用上要强过达朗贝尔审敛法。

而由命题1不难发现，推广比值审敛法中隔项比值审敛法与拉贝审敛法有一

定的内在联系，而两种新审敛法中，双比值审敛法作为一种新的审敛法与隔项比

值审敛法来比较运算较为繁琐，但是当对于正项数级先试用达朗贝尔审敛法出现

1lim1n

n

n

u

u







的情况时，如果改用双比值审敛法的推论，可以不必考虑级数的项是

否递减。也就是说，这时双比值审敛法的实用性更好一些。所以可知，双比值审

敛法虽然运算繁琐却实用性较强。

所以达朗贝尔审敛法与拉贝审敛法与两种推广比值审敛法相比较之下，后者

比前者更为精细，简练，另外两种新的推广比值审敛法中的隔项比值审敛法与拉

贝审敛法有一定的内在联系，可以说推广比值审敛法是对正项级数的常规审敛法

的继承发展。

参考文献

[1]陈纪修等主编.数学分析.[M]高等教育出版社.2004.10

[2]刘秋生.正项级数的一个判敛方法.[J]数学通报.1964.3

[3]李铁烽.正项级数判敛的一种新的比值审敛法[J]数学通报.1990.1