波函数坍缩

薛定谔方程及提出背景

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薛定谔方程

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为

；(1)

其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克

常数，是位势。

类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为

。(2)

假假设，系统内有个粒子，那么波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置

空间。用方程表达，

。

其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。所以，第个粒子的位置是。

不含时薛定谔方程

不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾

薛定谔方程及提出背景

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名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。

应用别离变量法，猜测的函数形式为

；

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其

中，

是别离常数，

是对应于

的函数．稍回儿，我们会发觉

就是能

量．

代入这猜测解，经过一番运算，含时薛定谔方程

(1)会变为不含时薛定谔方程：

。

类似地，方程(2)变为

。

历史背景与开展

爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一

种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间

的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。

1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也

有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率

与波数。1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。

然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律(Bragg'slaw)计算的衍

射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。

薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反响这特性的波动方程，能够正确

地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方

程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个发觉里。这

发觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；

也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明

确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。

这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应

于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创立了薛定谔方程。薛定谔用

自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。

但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结

构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相

对论性方程〔现今称为克莱因-高登方程〕，可以描述电子在库仑位势内的量子行为。薛定谔

计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他

认为先前非相对论性的局部，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发

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表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。

从此，给予了量子力学一个新的开展平台。

薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。薛定谔曾尝试解释代

表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻

恩提出概率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不成认这

种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量

子力学是根本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克

斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地说明了这看法。

含时薛定谔方程导引

启发式导引

含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设：

假设

(1)一个粒子的总能量可以经典地表达为动能与势能的和：

；

其中，是动量，是质量。

特别注意，能量与动量也出现于以下两个关系方程。

(2)1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量与对应的电磁波的频率

成正比：

其中，是普朗克常数，是角频率。

1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可

以用一个波函数来表达。粒子的动量与伴随的波函数的波长有关：

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；

其中，是波数。

用矢量表达，。

波函数以复值平面波来表达波函数

1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：

。

他想到

，

因此

。

并且相同地由于

，

因此得到

。

再由经典力学的公式，一个粒子的总能为

，质量为，在势能

处移动：

。

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薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程：

。

薛定谔的导引

思考一个粒子，运动于一个保守的位势。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程

；

其中，是哈密顿主函数。

由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以别离成两局部：

；

其中，不相依于时间的函数

将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿

是哈密顿特征函数，是能量。

-雅可比方程，稍加运算，可以得到

；

哈密顿主函数随时间的全导数是

。

思考哈密顿主函数的一个常数的等值曲面。这常数的等值曲面在空间移动的方程为

。

所以，在设定等值曲面的正负面后，朝着法线方向移动的速度是

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。

这速度是相速度，而不是粒子的移动速度：

。

我们可以想像为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位

与成比例的波函数：

；

其中，是常数，是相依于位置的系数函数。

将哈密顿主函数的公式代入波函数，成为

。

注意到的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论

；其中，是约化普朗克常数，是角频率。设定，粒子的波函数

变为

；

其中，。

的波动方程为

。

将波函数代入波动方程，经过一番运算，得到

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。

注意到。稍加编排，可以导引出薛定谔方程：

。

特性线性方程

态叠加原理

薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假假设与

是某薛定谔方程的解。设定

，

其中，与是任何常数。

那么也是一个解。

证明

根据不含时薛定谔方程(1)，

，

。

线性组合这两个方程的解，

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。

所以，也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。类似地，我们可以证明不含时薛定谔方

程是一个线性方程。

实值的本征态

不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。但在这状况，线性关系有稍微不同

的意义。假假设两个波函数与都是某不含时薛定谔方程的，能量为的解答，

那么这两个不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为的解答。

。

对于任何位势，都有一个明显的简并：假假设波函数是某薛定谔方程的解答，那么其共

轭函数也是这薛定谔方程的解答。所以，的实值局部或虚值局部，都分别是解答。

我们只需要专注实值的波函数解答。这限制并不会影响到整个不含时问题。

转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。给予某含时薛定谔方

程的解答。其替代波函数是另外一个解答：

。

这解答是复共轭对称性的延伸。称复共轭对称性为时间反转。

幺正性

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在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的概率总和等于1，称这特性为

幺正性。薛定谔方程能够自动地维持幺正性。用波函数表达，

。(3)

为了满足这特性，必须将波函数归一化。假假设，某一个薛定谔方程的波函数尚

未归一化。由于薛定谔方程为线性方程，与任何常数的乘积还是这个薛定谔

方程的波函数。设定；其中，是归一常数，使得

。

这样，新波函数还是这个薛定谔方程的解答，而且，

已经被归一化了。在这里，特别注意到方程(3)的波函数相依

于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保

持归一化。薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。这样，量子系统永远地满足幺正性。所以，

薛定谔方程能够自动地维持幺正性。

证明

总概率随时间的微分表达为

。(4)

思考含时薛定谔方程，

。

其复共轭是

。

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所以，

代入方程(4)，

在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于0。所以，

。

薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。

完备基底

能量本征函数形成了一个完备基底。任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的

线性组合，或连续的能量本征函数的积分。这就是数学的谱定理(spectraltheorem)。

在一个有限态空间，这说明了厄米算符的本征函数的完备性。

相对论性薛定谔方程

薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，

薛定谔方程的形式会改变。为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。试想能量质量关系式，

；

其中，是光速，是静止质量。

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直接地用这关系式来推广薛定谔方程：

。

或者，稍加编排，

；

其中，，是达朗贝尔算符。

这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。但是，它是一个时间的二阶方程。所以，不能成为波函数的方程。

并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。一个平面波函数解答遵守

；

其中，是角频率，可以是正值或负值。

对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制

能量的最低值。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自

旋为零的粒子的波函数。

保罗·狄拉克创造的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述

自旋

-?粒子量

子态的波函数方程：

，

其中，是自旋-?粒子的质量，与分别是空间和时间的坐标。

狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量

子场的方程，而不是一个波函数的方程。因为，相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一

个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。

假假设，一个粒子被局限于一个长度为的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不

确定性。假假设，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，那么能量的

薛定谔方程及提出背景

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不确定性大约为

。当盒子的长度

等于康普顿波长

时，能量的不

确定性等于粒子的质能。当盒子的长度小于康普顿波长时，我们无法确定盒子

内只有一个粒子。因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。我们用来测量

盒子内粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。

解析方法

自由粒子

主条目：自由粒子

当位势为0时，薛定谔方程为

。

解答是一个平面波：

，

其中，是波矢，是角频率。

代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系：

。

由于粒子存在的概率必须等于1，波函数必须先归一化，然后才能够表达出

正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都

是局部性的。

在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可

以表示为一个波包的函数。：

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；

其中，积分的区域是所有的-空间。

为了简化计算，只思考一维空间，

；

其中，因子是由傅里叶变换的常规而设定，振幅是线性叠加的系数函

数。

逆反过来，系数函数可以表达为

其中，是波函数在时间所以，知道

波函数在时间

的形式

；

的函数形式。

，借由傅里叶变换，我们可以推演出

波函数在任何时间的形式

。

一维谐振子

量子谐振子

薛定谔方程及提出背景

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能量最低的八个束本征的波函数表征

(

〕。横表示位置

。

此未一化。

在一振子中，一个量

的粒子，受到一位

。此

粒子的哈密算符

；

其中，位置。

了要找到能以相的能量本征，我必找到本征能量薛定方程：

。

我可以在座基底下解个微分方程，用到

数方法。可以到有一族的解：

最先八个解〔n=0到

。

5〕展示在右。函数

厄米多式

(Hermitepolynomials)

：

。

相的能

。

得注意的是能，理由有三。首先，能量被“量子化〞(quantized)，而只能有离散的，即乘以

1/2,3/2,5/2⋯⋯等等。是多量子力学系的特征。再者，可

有的最低能量〔当

n=0〕不零，而是，被称“基能量〞或零点能量。在

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基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动〞，且其平均动能是正值。这样的

现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因

为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量

子引力。最后一个理由式能阶值是等距的，不像玻尔模型或盒中粒子问题那样。

球对称位势

主条目：球对称位势

一个单粒子运动于球对称位势的量子系统，可以用薛定谔方程表达为

；

其中，是普朗克常数，是粒子的质量，是粒子的波函数，是位势，是径

向距离，是能量。

采用球坐标，将拉普拉斯算子展开：

。

满足薛定谔方程的本征函数的形式为：

，

其中，，，，都是函数。与时常会合并为一个函数，

称为球谐函数，。这样，本征函数的形式变为：

。

角局部解答

相依于天顶角和方位角的球谐函数，满足角局部方程

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；

其中，非负整数是角动量的角量子数。〔满足〕是角动量对于z-

轴的〔量子化的〕投影。不同的与给予不同的球谐函数解答：

；

其中，是虚数单位，是伴随勒让德多项式，用方程定义为

；

而是阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为

。

径向局部解答

将角局部解答代入薛定谔方程，那么可得到一个一维的二阶微分方程：

。

设定函数。代入方程。经过一番繁杂的运算，可以得到

。

径向方程变为

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；

其中，有效位势。

这正是函数为，有效位势为

。新参加有效位势的工程，称为

的薛定谔方程。径向距离的定义域是从

离心位势。为了要更进一步解析，我们必须知道位势

到

的形式。不同的位势有不同的解答。