连续可导

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函数的可导性与连续性的关系教案

教学目的

1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．

2．使学生了解左导数和右导数的概念．

教学重点和难点

掌握函数的可导性与连续性的关系．

教学过程

一、复习提问

1．导数的定义是什么？

2．函数在点x

0

处连续的定义是什么？

在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x

0

处连续必须具备以

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∴f(x)在点x

0

处连续．

综合(1)(2)原命题得证．

在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连

续性的关系．

二、新课

1．如果函数f(x)在点x

0

处可导，那么f(x)在点x

0

处连续．

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∴f(x)在点x

0

处连续．

提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x

0

处一定可导吗？为什么？若

不可导，举例说明．

如果函数f(x)在点x

0

处连续，那么f(x)在该点不一定可导．

例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y

＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．

证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，

∴函数y=|x|在点x

0

处是连续的．

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2．左导数与右导数的概念．

(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限

存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．

(3)函数在一个闭区间上可导的定义．

如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x

＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．

三、小结

1．函数f(x)在x

0

处有定义是f(x)在x

0

处连续的必要而不充分条件．

2．函数f(x)在x

0

处连续是f(x)在x

0

处有极限的充分而不必要条件．

3．函数f(x)在x

0

处连续是f(x)在x

0

处可导的必要而不充分的条件．

四、布置作业

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作业解答的提示：

=f(1)．

∴f(x)在点x＝1处连续．

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∴f(x)在x=1处不可导．