三角形的外接圆

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三角形外接圆半径的求法及应用

方法一：R＝ab/(2h)

三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。

AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证AB·AC＝AE·AD．

证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠ABE＝90°.

∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°，

∴Rt△ABE∽Rt△ADC，

∴

AC

AE

AD

AB



，

∴AB·AC＝AE·AD

方法二：2R＝a/SinA，a为∠A的对边

在锐角△ABC中，外接圆半径为R。求证：2R＝AB/SinC

证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠ABE＝90°.

∴AE＝AB/SinE

∵∠C＝∠E，SinC＝SinE

∴AE＝AB/SinC

∴2R＝AB/SinC

若C为钝角，则SinC＝Sin（180o－C）

应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

例1已知：如图，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r.

分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，用方法一就可以求出直径AD.

解：作AE⊥BC，垂足为E.

设CE＝x,

∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x)2

∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12R＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8

A

B

C

O

DE

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∴△ABC外接圆⊙O的半径r为

8

65

.

例2已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径R.

分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。

应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。

例3已知：如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径R.

分析：考虑求出角的对边长AB，然后用方法一或方法二解题.

解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.

则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，

∠CAE＝∠DAB＝90°－60°＝30°

CE＝

2

1

AC＝1，AE＝3，AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x3)

应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。

用方法二

例4已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径

解从A作AM⊥BC于M，则

AD2－MD2＝AM2

＝AC2－(MD＋CD)2．即52－MD2＝72－(MD＋3)2．

得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．

例5如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，

求①抛物线的顶点坐标；

②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；

③△ABC的外接圆的面积．

解①A(2，－9)；

A

B

C

O

DE

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②B(－1，0)；C(5，0)．

③从A作AM⊥x轴交于M点，

则BM＝MC＝3．AM＝9．

∴R＝5

△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π

三角形内切圆半径r的求法

1∵S

△ABC

=1/2(a+b+c)r

∴r=2S

△ABC

/(a+b+c)

2Rt△ABC中,r=(a+b-c)/2

三角形的内切圆和外接圆【知识要点】

1、三角形的外接圆

（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形

的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．

（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形

的外心在斜边中点，外接圆半径

2

c

R(c为斜边长)．

2、三角形的内切圆

（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线

的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．

（2）若三角形的面积为

ABC

S



，周长为a+b+c,则内切圆半径为:

cba

S

rABC





2

，当ba,为

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A

B

C

E

D

I

直角三角形的直角边，c为斜边时，内切圆半径

cba

ab

r





或

2

cba

r





.

3、圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的对角互补；

（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．

注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．

4、两个结论：

圆的外切四边形对边和相等；

圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．

【典型例题】

一、填空和选择

（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是()

A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形

（2）如右图，I是ABC的内心，则下列式子正确的是（）

A、∠BIC=180-2∠AB、∠BIC=2∠AC、∠BIC=90+∠A/2D、∠BIC=90-∠A/2

（3）

ABC

外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则

EFG

的外心是

ABC

的。

（4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半

径为．

（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为

Rr,

，则

Rr:

=．

（6）圆外切等腰梯形底角为60，腰长为10，则圆的半径长为．

（7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于．

（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是．

（9）ABC的内切圆⊙I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且∠FID=∠EID=135，则ABC

为．

例2．如图，△ABC中，I是内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于E。

求证：（1）IE=EC，（2）IE2=ED·EA。

·

I

A

B

C

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例3．如图，已知

ABC

内接于⊙

O

，AE切⊙

O

于点A，BC∥AE，求证：

ABC

是等腰三角形

例4．已知

ABC

三边长为6，8，10，则它的内心，外心间的距离为

【经典练习】

一、选择题

1.下列命题中，正确的有（）

①圆内接平行四边形是矩形②圆内接菱形是正方形

③圆内接梯形是等腰梯形④圆内接矩形是正方形

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=3：5：6，那么∠D=（）

A．80°B．90°C．100°D．120°

3.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外

接圆的面积之比为（）

A．

4

3

B．



3

C．

2

3

D．



2

4.如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=110°，则∠BCD=（）

A．125°B．110°C．55°D．70°

A

B

C

D

O

图1

A

B

D

C

O

图2

A

D

P

B

C

图3

·A

B

C

O

E

P

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5.如图2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=60°，则∠ABC=（）

A．30°B．60°C．120°D．90°

6.如图3，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AD上，则∠BPC为（）

A．35°B．40°C．45°D．50°

7.如图4，

MNPQ

中，过点Q、M的圆与PQ、MN分别相交于点E、F，下列结论中正确的

有（）

①∠EFN=∠Q=∠N；②∠EFN+∠P=180°；③EF=PN=MQ；④∠M=∠FEP。

A．1个B．2个C．3个D．4个

8.如图5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD为⊙O的直径，若∠CBE=50°，则圆心角∠AOC=

（）

A．50°B．80°C．100°D．130°

二、填空题

9．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=，∠BOC=。

10．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于，其内切圆的直径长

为。

11．直角三角形的一边为a，它的对角是30°，则此三角形的外接圆的半径是。

12．如图6，⊙I切△ABC于D、E、F，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B=。

13．如图7，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°，D、E、F为切点。若∠AOC=120°，

则∠OAC=，∠B=；若AB=2cm，则AC=,

△ABC的外接圆半径=，内切圆半径=。

O

F

N

P

E

Q

M

图4

A

O

D

C

B

E

图5

D

A

B

C

I

E

F

图6

A

F

C

E

B

D

O

图7

A

D

B

C

O

图8

︵

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14．如图8，若弦AD∥BC，∠BAC=70°，∠ABC=80°，则∠ADC=度，∠ACD=度。

15．如图9，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AE⊥CD，若∠ABC=130°，则∠DAE=。

16．如图10，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB与DC的延长线交于P。已知∠A=60°，

∠ABC=100°，则∠P=。

【大展身手】

一、选择题

1．下列说法正确的是（）

A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆

C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形

2．下列命题中的假命题是（）

A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

B．三角形的外心到三角形三边的距离相等

C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上

D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心

3．下列图形一定有外接圆的是（）

A．三角形B．平行四边形C．梯形D．菱形

4．下列说法正确的是（）

A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点

B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上

C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点

D．过四点A、B、C、D的圆不存在

B

E

C

D

O

A

图9

O

图10

P

B

C

D

A

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5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（）

A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm

6．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍．

A．

2

3

B．

3

3

C．

3

D．

2

1

7．三角形的外心具有的性质是（）

A．到三边距离相等B．到三个顶点距离相等

C．外心在三角形外D．外心在三角形内

8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）

A．它到三角形三个顶点的距离相等

B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角

C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径

D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点

9．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一

定是（）

A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形

10．如图所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC和BD交于Q，则图中相似

三角形有（）

A、1对B、2对

C、3对D、4对

11．∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，那么一定有（）

A、∠DCE+∠A=180B、∠DCE+∠B=180

C、∠DCE=∠A`D、∠DCE=∠B

二、填空题：

1．△ABC的三边3，2，

13

，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH=．

2．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．

3．如图所示，在ABC的外接圆中，AB=AC，D为AB的中点，

若∠EAD=114，则∠BAD=．

A

D

C

B

P

Q

·

A

C

B

D

O

E

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例6已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P在AB的延长线上，且PC∥BD。

求证：

DA

CB

CD

PB

