保号性

数列极限的保不等式性和注意事项（注意，不是数列极限的保号

性）

【定理内容】若∃N

0

，当n>N

0

时，有a

n

⩽

（注意，不是数列极限的保号性）

说明，前提条件是从某项开始，所有项都满⾜a_{n}leqslantb_{n},即a_{n}不⼤于b_{n},对于序号相同的项,即⼩于或者等于

如同分数线，不⼤于100分，则100分，以及0分都符合条件，结论都成⽴

或者理解为，b_{n}不⼩于a_{n},条件相当于分数线为100分，那么等于100分，或者120分，都满⾜条件。

【证明】

反证法。

假设lim_{ntoinfty}a_{n}>lim_{ntoinfty}b_{n}

设lim_{ntoinfty}a_{n}=a,lim_{ntoinfty}b_{n}=b

则依假设有：quada>b

设epsilon=frac{a-b}{2}

则existsN_{1},当n>N_{1}时，|a_{n}-a|

则existsN_{2},当n>N时_{2}，|b_{n}-b|

设N=max{N_{0},N_{1},N_{2}},则

当n>N时,有|a_{n}-a|

即quada-epsilon

quadquadb-epsilon

即quada-frac{a-b}{2}

quadquadb-frac{a-b}{2}

化简如下

frac{a+b}{2}

frac{3b-a}{2}

可得quadb_{n}

证毕

注意，下⾯结论不成⽴

若a_{n}

反例:-frac{1}{n}

但是lim_{ntoinfty}-frac{1}{n}=lim_{ntoinfty}frac{1}{n}=1

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