均值不等式公式

均值不等式应用

1.(1)若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则

2

22ba

ab





（当且仅当ba时取“=”）

2.(1)若*,Rba，则ab

ba





2

(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）

(3)若*,Rba，则

2

2

















ba

ab

(当且仅当ba时取“=”）

3.若0x，则

1

2x

x

(当且仅当1x时取“=”）

若0x，则

1

2x

x

(当且仅当1x时取“=”）

若0x，则

111

22-2xxx

xxx

即或

(当且仅当ba时取“=”）

4.若0ab，则

2

a

b

b

a

(当且仅当ba时取“=”）

若0ab，则22-2

ababab

bababa

即或(当且仅当ba时取“=”）

5.若Rba,，则

2

)

2

(

22

2

baba





（当且仅当ba时取“=”）

『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所

谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x2＋

1

2x2

（2）y＝x＋

1

x

解：(1)y＝3x2＋

1

2x2

≥23x2·

1

2x2

＝6∴值域为[6，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋

1

x

≥2x·

1

x

＝2；

当x＜0时，y＝x＋

1

x

=－（－x－

1

x

）≤－2x·

1

x

=－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：凑项

例已知

5

4

x，求函数

1

42

45

yx

x





的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又

1

(42)

45

x

x







不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5

,540

4

xx

，

11

42543

4554

yxx

xx











231

当且仅当

1

54

54

x

x





，即1x时，上式等号成立，故当1x时，

max

1y。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

例1.当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但

其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设

2

3

0x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵

2

3

0x∴023x∴

2

9

2

232

2)23(22)23(4

2



















xx

xxxxy

当且仅当,232xx即













2

3

,0

4

3

x时等号成立。

技巧三：分离

例3.求

2710

(1)

1

xx

yx

x







的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,

4

21)59

1

yx

x





（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544

=5

tttt

yt

ttt





）

当,即t=时,

4

259yt

t

（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为

()(0,0)

()

A

ymgxBAB

gx

，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()

a

fxx

x

的单调性。

例：求函数

2

2

5

4

x

y

x







的值域。

解：令24(2)xtt，则

2

2

5

4

x

y

x







2

2

11

4(2)

4

xtt

t

x





因

1

0,1tt

t

，但

1

t

t

解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为

1

yt

t

在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故

5

2

y。

所以，所求函数的值域为

5

,

2











。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.

（1）

231

,(0)

xx

yx

x



（2）

1

2,3

3

yxx

x





(3)

1

2sin,(0,)

sin

yxx

x



2．已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3．

2

0

3

x，求函数(23)yxx的最大值.

条件求最值

1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

解：ba33和都是正数，

ba33≥632332baba

当ba33时等号成立，由2ba及

ba33得1ba即当1ba时，

ba33的最小值是6．

变式：若

44

loglog2xy，求

11

xy



的最小值.并求x,y的值

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

2：已知0,0xy，且

19

1

xy

，求xy的最小值。

错解

．．

：0,0xy，且

19

1

xy

，

199

2212xyxyxy

xyxy









故

min

12xy。

错因：解法中两次连用均值不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在

199

2

xyxy



等号成立条件是

19

xy



即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步

骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：

19

0,0,1xy

xy



，

199

1061016

yx

xyxy

xyxy









当且仅当

9yx

xy

时，上式等号成立，又

19

1

xy

，可得4,12xy时，

min

16xy。

变式：（1）若

Ryx,且12yx，求

yx

11



的最小值

(2)已知

Ryxba,,,且1

y

b

x

a

，求yx的最小值

技巧七

已知x，y为正实数，且x2＋

y2

2

＝1，求x1＋y2的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

a2＋b2

2

。

同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为

1

2

，x1＋y2＝x2·

1＋y2

2

＝2x·

1

2

＋

y2

2

下面将x，

1

2

＋

y2

2

分别看成两个因式：

x·

1

2

＋

y2

2

≤

x2＋(

1

2

＋

y2

2

)2

2

＝

x2＋

y2

2

＋

1

2

2

＝

3

4

即x1＋y2＝2·x

1

2

＋

y2

2

≤

3

4

2

技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

1

ab

的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求

解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，

不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a＝

30－2b

b＋1

，ab＝

30－2b

b＋1

·b＝

－2b2＋30b

b＋1

由a＞0得，0＜b＜15

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

－2t2＋34t－31

t

＝－2（t＋

16

t

）＋34∵t＋

16

t

≥2t·

16

t

＝8

∴ab≤18∴y≥

1

18

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab

令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥

1

18

点评：①本题考查不等式ab

ba





2

）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式

230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式

ab

ba





2

）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，

a＋b

2

≤

a2＋b2

2

，本题很简单

3x＋2y≤2（3x）2＋（2y）2＝23x＋2y＝25

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20

∴W≤20＝25

变式:求函数

15

2152()

22

yxxx

的最大值。

解析：注意到21x与52x的和为定值。

22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx

又0y，所以022y

当且仅当21x=52x，即

3

2

x时取等号。故

max

22y。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均

值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例6：已知a、b、cR，且1abc。求证：

111

1118

abc









分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又

112

1

abcbc

aaaa





，

可由此变形入手。

解：a、b、cR，1abc。

112

1

abcbc

aaaa



。同理

12

1

ac

bb

，

12

1

ab

cc



。上

述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

111222

1118

bcacab

abcabc











。当且仅当

1

3

abc时取等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题

例：已知0,0xy且

19

1

xy

，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

解：令,0,0,xykxy

19

1

xy

，

99

1.

xyxy

kxky





109

1

yx

kkxky



103

12

kk

。16k，,16m

应用四：均值定理在比较大小中的应用：

例：若)

2

lg(),lg(lg

2

1

,lglg,1

ba

RbaQbaPba



，则RQP,,的大小关系是.

分析：∵1ba∴0lg,0lgba

2

1

Q（pbabalglg)lglg

Qabab

ba

R



lg

2

1

lg)

2

lg(∴R>Q>P。