初中函数的定义

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初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法

初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本

性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数

学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。

初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函

数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方

法。

一、一次函数

1.定义：在定义中应注意的问题y＝kx＋b中，k、b为常数，且k≠0，x的指数一定为

1。

2.图象及其性质

（1）形状、直线

（）

时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限

时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限

2

0

0

kyx

kyx















（）若直线：：3

111222

lykxblykxb

当时，；当时，与交于，点。kkllbbbllb

12121212

0//()

（4）当b>0时直线与y轴交于原点上方；当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。

（5）当b=0时，y＝kx（k≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。

（6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方

程组的解。

3.应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。

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（二）反比例函数

1.定义：

应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”y

k

x

kx1021

2.图象及其性质：

（1）形状：双曲线

（）对称性：

是中心对称图形，对称中心是原点

是轴对称图形，对称轴是直线和

2

1

2

()

()yxyx











（）

时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小

时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大

3

0

0

kyx

kyx















（4）过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

3.应用

（）应用在上

（）应用在上

（）其它

其要点是会进行“数形结合”来解决问题

1

2

3

P

F

S

u

S

t























二、二次函数

1.定义：应注意的问题

（1）在表达式y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c为常数且a≠0）

（2）二次项指数一定为2

2.图象：抛物线

3.图象的性质：分五种情况可用表格来说明

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表达式顶点坐标对称轴最大（小）值y随x的变化情况

(1)y=ax2(0，0)直线x=0(y轴)①若a>0，则x=0时，

y最小=0

②若a<0，则x=0时，

y最大=0

若a>0，则x>0时，y

随x增大而增大

若a<0，则当x>0时，y

随x增大而减小

(2)y=ax2+c

(0，0)直线x=0(y轴)①若a>0，则x=0时，

y最小=0

②若a<0，则x=0时，

y最大=0

①若a>0，则x>0时，y

随x的增大而增大

②若a<0，则x>0时，y

随x的增大而减小

(3)y=a(x－

h)2

(h，0)直线x=h①若a>0，则x=h时，

y最小=0

②若a<0，则x=h时，

y最大=0

①若a>0，则x>h时，y

随x的增大而增大

②若a<0，则x>h时，y

随x的增大而减小

表达式顶点坐标对称轴最大（小）值y随x的变化情况

(4)y=a(x－

h)2+k

(h，k)直线x=h①若a>0，则x=h时，

y最小=k

②若a<0，则x=h时，

y最大=k

①若a>0，则x>h时，y

随x的增大而增大

②若a<0，则x>h时，y

随x的增大而减小

(5)y=ax2+b

x+c

(



b

a2

，

4

4

2acb

a



)

直线x=

b

a2

①若a>0，则x=

b

a2

时，

y最小=

4

4

2acb

a



②若a<0，则x=

b

a2

时，

y最大=

4

4

2acb

a



①若a>0，则x>

b

a2

时，y随x的增大而增

大

②若a<0，则x>

b

a2

时，y随x的增大而减

小

4.应用：

（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它

平面直角坐标系、函数及其图像

【知识梳理】

一、平面直角坐标系

1.坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；

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2.各象限点的坐标的符号；

3.坐标轴上的点的坐标特征．

4.点P（a，b）关于











原点

轴

轴

y

x

对称点的坐标

















),(

),(

),(

ba

ba

ba

5.两点之间的距离

6.线段AB的中点C，若

),(),,(),,(

002211

yxCyxByxA

则

2

,

2

21

0

21

0

yy

y

xx

x









二、函数的概念

1.概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有

唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.

2.自变量的取值范围：（1）使解析式有意义（2）实际问题具有实际意义

3.函数的表示方法；（1）解析法（2）列表法（3）图象法

【思想方法】数形结合

一次函数图象和性质

【知识梳理】

1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠

0).

21212211

PP)0()0()1(xxxPxP＝， ， ，，

21212211

PP)0()0()2(yyyPyP＝， ，，，

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2.一次函数ykxb的图象是经过（

k

b

，0）和（0，b）两点的一条直线.

3.一次函数ykxb的图象与性质

【思想方法】数形结合

反比例函数图象和性质

【知识梳理】

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝

或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

2.反比例函数的图象和性质

k、b的符号k＞0，b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0k＜0，b＜0

图像的大

致位置

经过象限第象限第象限第象限第象限

性质

y随x的增大

而

y随x的增大

而而

y随x的增大

而

y随x的增大

而

k的符号k＞0k＜0

图像的大致位置

o

y

x

y

xo

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y

x

O

3．

k

的几何含义：反比例函数y＝

k

x

(k≠0)中比例系数k的几何意义，即

过双曲线y＝

k

x

(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、

B，则所得矩形OAPB的面积为.

【思想方法】数形结合

二次函数图象和性质

【知识梳理】

1.二次函数2()yaxhk的图像和性质

a＞0a＜0

图象

经过象限第象限第象限

性质在每一象限内,y随x的

增大而

在每一象限内,y随x的

增大而

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开口

对称轴

顶点坐标

最值当x＝时，y有最值

当x＝时，y有最

值

增

减

性

在对称轴左

侧

y随x的增大而y随x的增大而

在对称轴右

侧

y随x的增大而y随x的增大而

锐角三角函数

【思想方法】

1.常用解题方法——设k法

2.常用基本图形——双直角