定积分计算方法

创作时间：二零二一年六月三十日

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定积分的计算方法之南宫帮珍创作

创作时间：二零二一年六月三十日

摘要

定积分是积分学中的一个基本问题,计算方法有很多,经

常使用的计算方法有四种：（1）界说法、（2）牛顿—莱布尼

茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分

法.以及其他特殊方法和技巧.本论文通过经典例题分析探讨定

积分计算方法,并在系统总结中简化计算方法！并注重在解题

中用的方法和技巧.

关键字：定积分,界说法,莱布尼茨公式,换元法

Calculationmethodofdefiniteintegral

Abstract

theintegralistheintegralcalculusisafundamental

problem,itscalculationmethodisalotof,

(1)definitionmethod,(2)Newton-Leibnizformula,

(3)integralsubctionintegralmethod,(4)substitute

per,byclassicexamplesdefiniteintegral

analysismethod,andinthesystemofsimplified,

summarizedtheapproximatecalculationmethod!Andpay

attentiontoprobleminusingthemethodsandskills.

创作时间：二零二一年六月三十日

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Keywords:definiteintegral,definitionmethod,Newton-

Leibniz,substitutemethod

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目录

目录...................................................3

1绪论..................................................4

....................................................4

....................................................5

2经常使用计算方法.....................................6

....................................................6

....................................................7

....................................................8

....................................................9

3简化计算方法..............................错误!未定义书签。

.........................................错误!未定义书签。

.........................................错误!未定义书签。

4总结.................................................10

致谢..................................................11

参考文献..............................................11

创作时间：二零二一年六月三十日

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1绪论

定积分的界说

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积,如

图.即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积[1].这个图形称为

曲边梯形,特例是曲边三角形.

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区

间[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn-1,xn],其中x0=a,xn=b.可

知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,…,△xn=xn-xn-1.

在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n）,作和式

设λ=max{△x1,△x2,…,△xn}（即λ是最年夜的区间长

度）,则当λ→0时,该和式无限接近于某个常数,这个常数叫

做函数f(x)在区间[a,b]的定积分[2],记为

其中：a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a,b]叫做积

分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做

被积表达式,∫叫做积分号.

之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是

一个数,而不是一个函数.

根据上述界说,若函数f(x)在区间[a,b]上可积分,则有n等

分的特殊分法：

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特别注意,根据上述表达式有,当[a,b]区间恰好为[0,1]区间

时,则[0,1]区间积分表达式为：

性质1dxxg

a

b

dxxf

a

b

dxxgxf

a

b

)()()]()([

性质2)k(,)()(为常数dxxf

a

b

kdxxkf

a

b



性质3假设a

c

b

dxxf

a

c

dxxf

a

b

)()()(

性质4如果在区间[,]ab上,恒有)()(xgxf,则dxxg

a

b

dxxf

a

b

)()(

性质5如果在区间[,]ab上,0)(xf,则.0)(dxxf

a

b

(a

性质6设M及m分别是函数()fx在区间[,]ab上的最年夜值及最小

值,

则)()()(abMdxxf

a

b

abm,()ab此性质可用于估计积分值的

年夜致范围[3].

性质7若f(x)在[a,b]上可积,则∣f(x)∣在[a,b]上也可积,

且dxxf

a

b

dxxf

a

b

)()(

性质8（积分第一中值定理）设函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)

在[a,b]上可积,且在[a,b]上不变号,则在[a,b]上至少存在一点

ξ,使得：

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2经常使用计算方法

定积分的界说法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割

求和取极限.以()

b

a

Ifxdx为例：任意分割,任意选取

k

作积分和再

取极限.任意分割任意取

k

所计算出的I值如果全部相同的话,则

定积分存在.如果在某种分法或者某种

k

的取法下极限值不存在或

者与其他的分法或者

k

的取法下计算出来的值不相同,那么则说

定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用界说法计

算定积分是相当困难的,涉及到怎样才是任意分割任意取

k

.可是

如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积,那么就可以根

据积分和的极限唯一性可作,ab的特殊分法,选取特殊的

k

,计

算出定积分[4].

第一步：分割.

将区间,ab分成n个小区间,一般情况下采用等分的形

式.

ba

h

n



,那么分割点的坐标为,0a,,0ah,

2,0ah......(1),0anh,,0b,

k

在

1

,

kk

xx



任意选取,可是

我们在做题过程中会选取特殊的

k

,即左端点,右端点或者中点.

经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个

小长方形.

第二步：求和.

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计算n个小长方形的面积之和,也就是



1

n

k

k

fh



.

第三步：取极限.



00

11

limlim

nn

kk

hh

kk

Ifhhf





,0h即n,也就是说分

的越细,那么小曲边梯形就越接近小长方形,当n趋于无穷之时,

小曲边梯形也就是小长方形,那么小长方形的面积和即为曲边梯

形的面积,也就是定积分的积分值.

例1、用界说法求定积分1

0

xdx.

解：因为()fxx在0,1连续

所以()fxx在0,1可积

令

101

h

nn





将0,1等分成n个小区间,分点的坐标依次为

02...1hhnh

取

k

是小区间(1),khkh的右端点,即

k

kh于是

所以,1

0

1

2

xdx

牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起.

利用此公式,可以根据不定积分的计算计算出定积分.这个公式要

求函数()fx在区间,ab内必需连续.求连续函数()fx的定积分只需

求出()fx的一个原函数,再依照公式计算即可.

定理：若函数()fx在区间,ab连续,且()Fx是()fx的原函数,

则()()()

b

a

fxdxFbFa.

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证明：因为()Fx是()fx的原函数,即,xab有'()()Fxfx

积分上限函数()

x

a

ftdt也是()fx的原函数

所以

'

()()x

a

ftdtfx

所以()()

x

a

ftdtFxC

令xa有()()

a

a

ftdtFaC即()CFa

再令xb有()()()

b

a

fxdxFbFa

我们知道,不定积分与定积分是互不相关的,自力的.可是在

连续的条件下,微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起

来,这不单给定积分的计算带来极年夜的方便,在理论上把微分

学与积分学沟通起来,这是数学分析的卓越功效,有着重年夜的

意义.

例1、用牛顿莱布尼茨公式计算定积分1

0

xdx.

解：原式=

1

2

0

11

22

x

同样的一道题目,用牛顿-莱布尼茨公式明显比界说法简单,

容易计算.

公式：函数()ux,()vx在,ab有连续导数则

()()()()()()bb

b

a

aa

uxdvxuxvxvxdux

证明：因为()ux,()vx在,ab有连续导函数

所以'

''()()()()()()uxvxuxvxvxux

所以

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'

''()()()()()()()()()()bb

bb

aa

aa

uxvxuxvxuxvxvxuxdxuxvx







即''()()()()()()bb

b

a

aa

uxvxdxuxvxvxuxdx

或()()()()()()

bb

b

a

aa

uxdvxuxvxvxdux

例1、求定积分2

1

lnxdx.

解：

22

22

11

11

lnlnln2ln202ln21xdxxxxdxx

应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分,首先求被积函数的原函数,

其次再按公式计算.一般情况下,把这两步截然分开是比力麻烦的,

通常在应用换元积分法求原函数的过程中也相应交换积分的上下

限,这样可以简化计算.

公式：若函数()fx在区间,ab连续,且函数()xt在,有

连续导数,那时t,有()atb则：

证明：()()()()

b

b

a

a

fxdxFxFbFa

即'()()()b

a

fxdxfttdt







这个公式有两种用法：

（1）、若计算()

b

a

fxdx

○

1、选取合适的变换()xt,由a,b通过()bt,()at分别

解出积分限与；

○

2、把()xt代入()

b

a

fxdx获得'()()fttdt





；

○

3、计算.

例1、计算定积分22

0

aaxdx.

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解：设sinxat有cosdxatdt

0x时,0t；xa时,

2

t





（2）、计算()gtdt



,其中'()()()gtftt

○

1、把()gt凑成'()()ftt的形式；

○

2、检查()xt是否连续；

○

3、根据



与通过()xt求出左边的积分限a,b；

○

4、计算.

例2、计算定积分1

1

1

54

dt

t

.

解：令54tx,则25

4

x

t



,

1

2

dtxdx

那时1t,3x；那时1t,1x

所以原式=

1

1

3

3

111

()1

22

xdx

x



4总结

定积分计算中最经常使用的四种方法,本文通过举例分析定

积分的几种计算方法,来体现定积分的计算.定积分的计算类型很

多,要熟练地进行定积分的各种运算,就要对定积分的运算技巧

不竭熟悉和掌握.其实,在实际计算中,遇到的题目纷歧样,用的

计算方法也纷歧样.界说法一般不经常使用,计算起来比力困难,

所以一般不会用界说法计算.经常使用的就是其他三种,即牛顿-

莱布尼茨公式,分部积分法和换元积分法.

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致谢

在老师的悉心指导下我完成了这篇关于定积分的计算方法的

论文,感谢老师以以其严谨求实的教学态度、高度的敬业精神和

孜孜以求的工作作风对我发生重年夜影响.在此想对理学院的老师

暗示真诚的感谢,感谢您们给我这次机会,感谢您们知道与教诲.

也感谢在学习过程中陪伴我帮手我的同学们,谢谢你们.

参考文献

[1]华东师范年夜学数学系编数学分析[M],北京：高等教育

出书社,2002

[2]姚允龙编高等数学与数学分析——方法扶引[M],上海：

复旦年夜学出书社,1982

[3]钱吉林编数学分析题解精粹[M],武汉：崇文书局,2003

[4]中国科学技术年夜学高等数学教研室编高等数学导论[M],

合肥：中国科学技术年夜学出书社,1995

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