根号0有意义吗

第二十一章二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容:

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

2．本单元在教材中的地位和作用:

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其

应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．

教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．

（3）掌握•＝（a≥0，b≥0），=•；

=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．

（4）了解最简二次根式的概念并灵活使用它们对二次根式实行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内

涵实行分析，得出几个重要结论，并使用这些重要结论实行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并使用

规定实行计算．

（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并使用它实行化简

（4）通过度析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概

念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式实行合并，达到对二次根式实行计算和

化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二

次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的水平．

教学重点

1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）

•及其使用．

2．二次根式乘除法的规定及其使用．

3．最简二次根式的概念．

4．二次根式的加减运算．

教学难点

1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解

及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理水平，突出重点，突破难点．

2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论实行准确计算的水平，•培养学生一丝不苟

的科学精神．

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下:

21．1二次根式3课时

21．2二次根式的乘法3课时

21．3二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其使用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1．重点:形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．难点与关键:利用“（a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题:

问题1:已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是

___________．

问题2:如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

问题3:甲射击6次，各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差

是S2，那么S=_________．

老师点评:

问题1:横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．由于点在第一象限，所以x=，所以所求点

的坐标（，）．

问题2:由勾股定理得AB=

问题3:由方差的概念得S=.

二、探索新知

很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，

我们就把它称二次根式．所以，一般地，我们把形如（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称

为二次根号．

（学生活动）议一议:

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0，有意义吗？

老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、

（x≥0，y•≥0）．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0

解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、

例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有

意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥时，在实数范围内有意义．

三、巩固练习

教材P练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？

分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．

解：依题意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1

当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．

例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)

(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）

A．-B．C．D．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（）

A．B．C．D．

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）

A．5B．C．D．以上皆不对

二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面积为a的正方形的边长为________．

3．负数________平方根．

三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应

做成正方形，试问底面边长应是多少？

2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？

3．若+有意义，则=_______．

4.使式子有意义的未知数x有（）个．

A．0B．1C．2D．无数

5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．

第一课时作业设计答案:

一、1．A2．D3．B

二、1．（a≥0）2．3．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=．

2．依题意得：，

∴当x>-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．

3.

4．B

5．a=5，b=-4

21.1二次根式(2)

第二课时

教学内容

1．（a≥0）是一个非负数；

2．（）2=a（a≥0）．

教学目标

理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数

据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键

1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出

（）2=a（a≥0）．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

（a≥0）是一个非负数．

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；

（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．

老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，

因此有（）2=4．

同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以

（）2=a（a≥0）

例1计算

1．（）22．（3）23．（）24．（）2

分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．

解：（）2=，（3）2=32•（）2=32•5=45，

（）2=，（）2=．

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（）2（）2（）2（）2（4）2