微分方程的通解公式

2017考研数学:n阶线性微分方程的通解公式分析

微分方程是高等数学中的一个重要章节，在实际中也有广泛的应用，对于考研数

学来讲更是每年必考。关于线性微分方程的通解公式，在一般高等数学教材中只是简单

地做了些介绍，并没有进行详细的分析证明，因此有很多同学对其感到有些困惑，对其

含义和作用也不能很好理解，为了帮助2017考研学子消除这些困惑，下面文都蔡老师

对n阶线性微分方程的通解公式做些分析和证明，供同学参考。

一、通解的定义

定义：若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶数，

则称这样的解为该微分方程的通解。

注：1)通解中若有多个任意常数，它们应该是相互独立的，也就是说它们不能相互

合并而使任意常数的个数减少。

上面的分析证明可以知道，虽然微分方程的一般通解不一定包含其全部解，但对于

n阶线性微分方程而言，上面的通解公式包含了方程的全部解，因此，只要我们知道了

n阶线性齐次微分方程的n个线性无关的解，就知道了其全部解，对于n阶线性非齐次

微分方程，只要知道了其一个特解和对应齐次方程的n个线性无关的解，也知道了其全

部解。