点到平面的距离

空间几何向量法之点到

平面的距离

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

空间几何向量法之点到平面的距离

1.要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：

(1)找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量；

(2)求出该平面的法向量；

(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量

的模，这就是该店到平面的距离。

例子：点

A

到面的距离

ABn

d

n

•

（注：AB为点A的斜向量，n

是面

的法向量，点

B

是面内任意一点。）

2.求立体几何体积（向量法）

体积公式：

1、柱体体积公式：

.VSh

2、椎体体积公式：

1

.

3

VSh

3、球体体积公式：3

4

3

VR

课后练习题

例题：在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长

AC=CD=AD=AB=1，且∠BAD=300，求点D到平面ABC的距离。

要求平面外一点P到平面



的距离，

可以在平面内任取一点A，则点P到平面的距离即为d=

||

||

||||

||||

n

nPA

nPA

nPAPA





建立如图空间直角坐标系，则A（0,0,

2

1），B（

2

1

2

13,0,），C

（

0,,0

2

3），D（)0,0,

2

1

∴

)0,,(

2

3

2

1AC

,

),0,(

2

1

2

3AB

,

)0,,(

2

3

2

1DC

设n=(x,y,z)为平面的一个法向量，则















0

0

2

3

2

1

2

1

2

3

yxACn

zxABn

∴

xzxy3,

3

3

，可取

)3,1,3(n

代入

||

||

n

nDCd

得，

13

39

13

2

3

2

3d

，即点D到平面ABC的距离是

13

39。

1.已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面

的四点,求点D到平面ABC的距离.

解：设),,(zyxn是平面ABC的一个法向量，则由0nAB及

1

0nBC

,

得

2x2yz0

2x2y5z0













2

yx

3

2

zx

3



















,取x=3,得)2,2,3(n,于是点D到平面ABC

的距离为d=

DAn

n

=

17

49

=

17

1749

.

2.已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中

点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面

EFG的距离.

解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-

xyz，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0),F(4,

2,0)，∴GE=(2,4,-2),

GF=(4,2,-2),BE=(2,0,0).

设平面EFG的一个法向量为),,(zyxn，则由0nGE及

0nGF

，得

2x+4y2z0

4x2y2z0













x=y

z3y









,取y=1,得(1,1,3)n,于是点B到平面EFG的距离为

d=

BEn

n

=

11

112

11

2



.

3.在棱长为1的正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中，求点C

1

到平面A

1

BD的距

离。

解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz，则

A

1

(1,0,1),B(1,1,0),C

1

(0,1,1).

设平面A

1

BD的一个法向量为),,(zyxn，则由

1

DA0n

及DB0n，

得

xz0

xy0













z=-x

y=-x







,取x=-1,得n=(-1,1,1),于是点C

1

到平面A

1

BD的距离为

d=1

CDn

n

=

2

3

=

23

3

.

4.如图4，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2，求点E到平面ACD的距离.

解：由题设易知AO⊥BD，OC⊥BD，∴OA=1，OC=3，∴

OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90，即OA⊥OC.

以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标

系O-xyz，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,0,0),∴

E(

1

2

,

3

2

,0),AD=(-1,0,-1),AC=(0,3,-1),ED=(-

3

2

,-

3

2

,0).

设平面ACD的一个法向量为),,(zyxn，则由AD0n及AC0n，

得

xz0

3yz0

















x=-z

3

y=z

3











,取z=3,得n=(-3,1,3),于是点E到平面ACD的距离为

d=

DEn

n

=

3

7

=

21

7

.

5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1

中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1

＝2，

M、N分别是A1C1

、BC1

的中点．

(Ⅰ)求证：BC1

⊥平面A1B1C；

(Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1

；

(Ⅲ)求三棱锥M－BC1B1

的体积．

(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1

是直三棱柱，∴BB1

⊥平面A1B1C1

，∴B1B⊥A1B1

．

又B1C1

⊥A1B1

，∴A1B1

⊥平面BCC1B1

，∴BC1

⊥A1B1

．

∵BB1

＝CB＝2，∴BC1

⊥B1C，∴BC1

⊥平面A1B1C．

(Ⅱ)连接A1B，由M、N分别为A1C1

、BC1

的中点，得MN∥A1B，

又A1B平面A1ABB1

，MN



平面A1ABB1

，∴MN∥平面A1ABB1

．

(Ⅲ)取C1B1

中点H，连结MH．

∵M是A1C1

的中点，∴MH∥A1B1

，

又A1B1

⊥平面BCC1B1

，∴MH⊥平面BCC1B1

，∴MH是三棱锥M－BC1B1

的高，

∴三棱锥M－BC1B1

的体积

3

2

14

2

1

3

1

3

1

11

MHSV

BBC

6.如图，在三棱柱

111

ABCABC中，ACBC,

1

ABBB

1

2ACBCBB,

D

为

AB

中点，且

1

CDDA

（1）求证：

1

BBABC平面

（2）求证：

1

BC∥平面

1

CAD

(3)求三棱椎

11

-ABDC的体积

7.如图，在棱长为2的正方体中，,EF分别为

1

DDDB、的中点。

1

A

1

B

1

C

A

D

C

B

（1）求证：

EF

∥平面

11

ABCD(2)求证

1

EFBC

（2）求三棱锥

1

BEFC的体积。

1

A1

B

1

C

A

E

C

B

D

F

1

D