空间四边形

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1.2.2空间中的平行关系(1)——平行直线

自主学习

学习目标

能认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理．

自学导引

1．____________________________的两条直线叫做平行线，过直线外一点有且只有________直线与

这条直线平行．

2．基本性质4：________________________________，用符号表述为

________________________________．

3．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边________________________________，那么这两

个角相等．

4．顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形叫做________________，四个点叫做空间四

边形的________，所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的______，连接不相邻的顶点的线段叫做

空间四边形的__________．

对点讲练

知识点一理解有关概念及性质

例1下列叙述是否正确，请说明理由．

①空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边两条对角线．

②空间四边形不是平面图形，可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共底边

适当翻折而成的空间图形．

③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形．

④四边都相等的四边形都是菱形．

⑤有三个角都是直角的四边形是矩形．

点评空间四边形是立体几何中的一个重要模型，应掌握其画法及特征．

变式训练1在空间四边形ABCD中，若AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中

点，则四边形EFGH是()

A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形

知识点二平行公理的应用

例2

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如图所示，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB、△PBC的重心．求证：DE∥AC，DE

＝

1

3

AC.

点评空间图形中的平行，往往转化到某一个平面中去，利用平面性质：如中位线、平行截割定理

等．

变式训练2

如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且

AE

EB

＝

AH

HD

＝

CF

FB

＝

CG

GD

≠1，那么四边形EFGH是什么图形？

知识点三等角定理的应用

例3

如图所示，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，

且

AO

OA′

＝

BO

OB′

＝

CO

OC′

＝

2

3

.

(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；

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(2)求

S△ABC

S△A′B′C′

的值．

点评本题考查了等角定理，等角定理的实质是由两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角

的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且一组

边的方向相反，那么这两个角互补．

变式训练3

如图所示，在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，E、F、E

1

、F

1

分别为所在边中点．求证：

(1)EFE

1

F

1

；

(2)∠EA

1

F＝∠E

1

CF

1

.

1.空间两条直线的位置关系—











—相交—共面，有一个公共点

—平行—







—共面，无公共点

—基本性质4—空间平行线

的传递性

—等角定理

—异面

2．注意：等角定理的逆命题不成立.

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课时作业

一、选择题

1．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()

A．30°B．30°或150°

C．150°D．以上结论都不对

2．若∠AOB＝∠A

1

O

1

B

1

，且OA∥O

1

A

1

，OA与O

1

A

1

的方向相同，则下列结论中正确的是()

A．OB∥O

1

B

1

且方向相同

B．OB∥O

1

B

1

C．OB与O

1

B

1

不平行

D．OB与O

1

B

1

不一定平行

3．正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，P、Q分别为AA

1

、CC

1

的中点，则四边形D

1

PBQ是()

A．正方形B．菱形

C．矩形D．空间四边形

4．如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD

边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，且

AE

AB

＝

AH

AD

＝λ，

CF

CB

＝

CG

CD

＝μ.则下列结论中不正确的为()

A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形

B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形

C．当λ＝μ＝

1

2

时，四边形EFGH是平行四边形

D．当λ＝μ≠

1

2

时，四边形EFGH是梯形

5．已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断正确的是()

A．MN≥

1

2

(AC＋BD)

B．MN≤

1

2

(AC＋BD)

C．MN＝

1

2

(AC＋BD)

D．MN<

1

2

(AC＋BD)

题号12345

答案

二、填空题

6．下列命题中，正确的结论有________(填写序号)．

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．

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7．在空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC＝BD，且

AC⊥BD，则四边形EFGH的形状为________．

8.

如图所示，正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，判断下列直线的位置关系：

(1)直线A

1

B与直线D

1

C的位置关系是________；

(2)直线A

1

B与直线B

1

C的位置关系是________；

(3)直线D

1

D与直线D

1

C的位置关系是________；

(4)直线AB与直线B

1

C的位置关系是________．

三、解答题

9.

如图所示，在一个长方体木块的A

1

C

1

面上有一点P，过P点作一条直线和棱CD平行，应怎样作？

若要求过P点画一条直线和BD平行，又该怎样作？

10.

如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，AD上的点，且满足

AE

AB

＝

AF

AC

＝

AG

AD

.

求证：△EFG∽△BCD.

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【答案解析】

自学导引

1．在同一平面内不相交一条

2．平行于同一条直线的两条直线互相平行如果a∥b，c∥b，那么a∥c

3．分别对应平行，并且方向相同

4．空间四边形顶点边对角线

对点讲练

例1解

由空间四边形的定义知命题①②③都是真命题．空间四边形的四条边可相等，故命题④为假命题．关

于命题⑤可构造正方体ABCD—A1

B

1

C

1

D

1

，如图，∠D

1

AB＝∠ABC＝∠BCD

1

＝90°，但∠AD

1

C＝60°，

四边形ABCD1

不是矩形，故⑤为假命题．

变式训练1A

例2证明连接PD并延长交AB于M，连接PE并延长交BC于N，则M为AB的中点，N为

BC的中点，

∴MN∥AC，又

PD

DM

＝

PE

EN

＝

2

1

，

∴DE∥MN，∴DE∥AC.

又

DE

MN

＝

PD

PM

＝

2

3

，

∴DE＝

2

3

MN，又因MN＝

1

2

AC，

∴DE＝

1

3

AC.

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变式训练2解四边形EFGH是平行四边形．

因为

AE

EB

＝

AH

HD

＝

CF

FB

＝

CG

GD

，

所以△AEH∽△ABD，△CFG∽△CBD.

设

AE

EB

＝

AH

HD

＝

CF

FB

＝

CG

GD

＝k(k≠1)，则利用相似三角形的性质，知EH＝

k

k＋1

BD，FG＝

k

k＋1

BD，且EH∥BD，

FG∥BD，所以EHFG，所以四边形EFGH是平行四边形．

例3(1)证明∵AA′与BB′交于点O，

且

AO

OA′

＝

BO

OB′

＝

2

3

，∴AB∥A′B′.

同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.

(2)解∵A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝

∠B′A′C′.

同理∠ABC＝∠A′B′C′.

因此△ABC∽△A′B′C′，且

AB

A′B′

＝

AO

OA′

＝

2

3

.

∴

S△ABC

S△A′B′C′

＝









2

3

2＝

4

9

.

变式训练3证明(1)连接BD、B

1

D

1

.

E、F分别为AD、AB的中点，

则在△ABD中有EF∥BD且EF＝

1

2

BD.

同理，E1

、F

1

分别为B

1

C

1

、C

1

D

1

的中点，

则在△C1

D

1

B

1

中有E

1

F

1

∥B

1

D

1

且E

1

F

1

＝

1

2

B

1

D

1

.

而在正方体ABCD—

A

1

B

1

C

1

D

1

中，BB

1

DD

1

.

∴四边形BB

1

D

1

D为平行四边形，

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∴BD∥B

1

D

1

且BD＝B

1

D

1

，∴EFE

1

F

1

.

(2)取A

1

B

1

的中点M，连接BM，

则BF＝A1

M＝

1

2

AB，

又BF∥A1

M，∴BFA

1

M，

∴四边形A

1

FBM为平行四边形．

∴A

1

F∥BM，而M、F

1

分别为A

1

B

1

、C

1

D

1

的中点，

则F1

MC

1

B

1

，而C

1

B

1

BC.

∴F

1

M∥BC且F

1

M＝BC.

∴四边形F

1

MBC为平行四边形，

∴BM∥F

1

C，又BM∥A

1

F，∴A

1

F∥CF

1

.

同理取A1

D

1

的中点N，

连接DN，则A1

NDE，

所以四边形A1

NDE为平行四边形．

∴A

1

E∥DN，又E

1

N∥CD且E

1

N＝CD.

∴E

1

NDC为平行四边形，∴DN∥CE

1

.

由基本性质4，A1

E∥CE

1

.

∴∠EA

1

F与∠E

1

CF

1

的两边分别对应平行，

即A1

E∥CE

1

，A

1

F∥CF

1

且方向都相反．

∴∠EA

1

F＝∠E

1

CF

1

.

课时作业

1．B[由等角定理知空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．]

2．D[等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O

1

B

1

有可能平行，也可能不在

同一平面内，位置关系不确定．]

3．B[设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D

1

PBQ各边均为5，又D

1

PBQ是平行四边形，

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所以四边形D1

PBQ是菱形．]

4．D[当λ＝μ时EHFG，∴EFGH为平行四边形，

故D中结论不正确．]

5．D

[如右图所示，取BC中点E，连接ME，NE









则MN

而ME＝

1

2

AC，NE＝

1

2

BD

MN<

1

2

(AC＋BD)．]

6．②④

7．正方形

解析E、F、G、H分别为所在边的中点，

由中位线性质知EF

1

2

AC，GH

1

2

AC，

∴EFGH.∴四边形EFGH为平行四边形．

又AC＝BD，AC⊥BD，∴EF＝FG，且EF⊥FG.

∴四边形EFGH为正方形．

8．(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面

9．解如图所示，(1)过点P作EF∥C

1

D

1

分别

交B1

C

1

、A

1

D

1

于点E、F即可．因为CD∥C

1

D

1

，所以EF∥CD.

(2)过点P作GH∥B

1

D

1

分别交B

1

C

1

、C

1

D

1

于点G、H即可．因为BD∥B

1

D

1

，所以GH∥BD.

10．证明在△ABC中，∵

AE

AB

＝

AF

AC

，

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∴EF∥BC且

EF

BC

＝

AE

AB

.

同理，EG∥BD且

EG

BD

＝

AE

AB

.

又∵∠FEG与∠CBD的对应两边方向相同，

∴∠FEG＝∠CBD.∵

EF

BC

＝

EG

BD

，

∴△EFG∽△BCD.