泊松比越大说明什么

浅说泊松⽐的由来

泊松⽐的定义是如此的简单，它被定义为材料在纵向加载时，横向应变与纵向应变的⽐值再取相反数。举例⽽⾔，假设

有⼀直径为D的圆杆，若在长度⽅向施加载荷后，长度⽅向伸长△L，直径收缩△L，则泊松⽐µ表⽰可表⽰为

但你可能想象不到，如此简单的泊松⽐，其发展却充满了争议。

图1泊松⽐⽰意图

最早发现泊松⽐的科学家是英国的博学家托马斯·扬（ThomasYoung，1773-1829年）。1807年，托马斯·扬在他的

⾃然哲学和机械艺术讲义（LecturesonNaturalPhilosophyandtheMechanicalArts）中提到：

Wemayeasilyobrvethatifwecompressapieceofelasticguminanydirection,itextendsitlfinotherdirections;

andifweextenditinlength,itsbreadthandthicknessarediminished.

我们可以很容易地观察到，如果我们在任何⽅向上压缩⼀块弹性树脂材料，它向其他⽅向扩展；如果我们拉伸它，它的

宽度和厚度都会减⼩。

这很可能是最早关于横向变形效应的实验记录，不过，托马斯·扬只是提到了材料在加载时会发⽣横向变形的现象，并

未对这⼀现象进⾏深⼊的研究，并将横向变形与纵向变形量的⽐值称为“挤压-拉伸⽐”。

在当时基于“微粒-弹簧”模型的弹性理论分⼦假说深⼊⼈⼼，⼈们很难将这⼀⽐值视为材料的⼀种弹性常数。这⼀模型

认为材料是由微粒组成的（类似于原⼦、或分⼦），这些微粒之间通过“弹簧”相连，如图2所⽰，这很好的解释了材料

弹性变形的“胡克定律”，但由于该模型中只有弹簧变形，让⼈误认为描述材料弹性变形的只有⼀个常数，即弹性模量

（杨⽒模量）。

图2材料的“微粒-弹簧”模型

泊松（SiméonDenisPoisson，1781-1840），法国数学家、⼯程师和物理学家。1798年他考⼊巴黎综合理⼯，2年

内（1800年）就出版了2本回忆录，⼀个讲数量消除法、另⼀个讲有限差分，这些成果使他得以以助教⾝份留校，此

时的泊松只有18岁，1806年就接替了傅⾥叶在综合理⼯的职位。1818年3⽉，被选为英国皇家学会外籍会员；1820

年，他被选⼊ConilRoyaldel’InstructionPublique（皇家公共教育委员会），成为全国数学教学主任；1822年，被

选为美国艺术与科学学院的外国名誉会员，1823年被选为瑞典皇家科学院外籍院⼠，很快泊松就赢得了他在科学界的

地位。

图3泊松像

不知道是不是荣誉来的太快不够珍惜，泊松的⼯作态度也越来越出现了问题，肆⽆忌惮的处理学者秘密提交到学院供审

查和评估的报告，这令傅⾥叶⾮常不满，最著名的例⼦是泊松多次试图阻⽌SophieGermain(1776-1831)获得拿破仑设

⽴的“⾮凡奖”的候选⼈资格，该奖项专门为理论解析弹性薄板的克拉尼振动为设⽴。克拉尼（Chladni，1753-1827）

于1787年发表了《声⾳理论中的发现》，⽤铺在弹性薄板上的沙⼦展⽰了弹性薄板的振动。

图4克拉尼板振动演⽰

1816年以后，德国和英国的物理学⽔平发展很快，英国在电磁学⽅⾯领先，⽽德国在光学和仪器⽅⾯领先，这使得泊

松感到⾮常不安。1827年，泊松很可能是在了解到他的好友CagniarddelaTour有关黄铜的横向变形效应实验后，为

了重塑⾃⼰在弹性理论中的威望，公开了他对泊松⽐的研究成果，并将其标记为µ。

设有⼀根长为a，截⾯积为b个杆件，杆件受拉后，a变为a(1+α)，截⾯积变为b(1-β)，因此，体积变为ab(1+α-β)

（忽略⾼阶⽆穷⼩αβ）。然后，泊松在“微粒-弹簧”模型下，假定固体材料中晶格之间的⼒可以简化为都通过其中⼼，

这样就可以导出β=α/2，即β/α=1/2。他声称这⼀结果与CagniarddelaTour的实验相⼀致。

1850年，泊松⽐被⽤应变重新定义为⽂⾸开头公式(1)的样⼦。设所⽤杆件为圆杆，则有

△l/l=α,b=πD2/4

由此可以导出泊松⽐的结果为µ=1/4。泊松在发表这⼀结果时，声称他的结果得到了同事CagniarddelaTour的实验验

证，但不久Tour的实验就被⼈指责太过于粗糙。实际上，Tour并没有直接测出泊松⽐，他将黄铜试样放在⼀个管⼦底

部，⼀端固定，⼀端加载，通过观察线（黄铜试样）的长度和⽔位变化，来推导截⾯变化，这⼀实验的误差很⼤。后

来，Wertheim采⽤改进⽅法进⾏测量时（1848），得到结果是1/3⽽不是1/4。由于剪切模量和弹性模量之间满⾜关系

利⽤这⼀关系也可以通过测量剪切模量和弹性模量来确定泊松⽐，显然，当那个年代测量剪切模量和弹性模量要⽐直接

测量应变要可靠的多。1867年，麦克斯韦总结了⼈们对多种材料泊松⽐的测量结果，实验表明黄铜的泊松⽐为0.387，

铁的泊松⽐为0.294，铜的泊松⽐在0.226-0.441之间。很显然泊松⽐并不是⼀个常数，⽽是随物质变化的常数。但麦

克斯韦并没有打算彻底放弃泊松的1/4⽐，他认为“当假定弹性是分⼦通过作⽤在中⼼线上的吸引⼒或排斥⼒相互作⽤⽽

产⽣的，该⽐率可以是1/4，只要满⾜每个分⼦的位移是其在体积内位置的函数”。

随着⾼精度的测试技术的发展，越来越多的实验证明材料的泊松⽐并不总是1/4，到1870年代，⼈们逐渐放弃了1/4，

⽽将泊松⽐视为材料的⼀种本质属性接受下来。同时，随着连续介质弹性理论模型也取代了“微粒-弹簧”模型下的分⼦

假说，⼈们也发现了许多新颖的泊松⽐，例如负泊松⽐材料，这种材料在⼀个⽅向上受拉，另⼀个⽅向不仅不减⼩反⽽

会增加，这为⼈们在利⽤⾃然规律改造世界时提供了⽆限的遐想。

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