不定积分公式大全

Ch4、不定积分

§1、不定积分的概念与性质

1、原函数与不定积分

定义1：若

)()(xfxF



，则称

)(xF

为

)(xf

的原函数。

①连续函数一定有原函数；

②若

)(xF

为

)(xf

的原函数，则

CxF)(

也为

)(xf

的原函数；

事实上，)()()('

'xfxFCxF

③)(xf的任意两个原函数仅相差一个常数。

事实上,由0)()()()()()('

2

'

1

'

11

xfxfxFxFxFxF，得CxFxF)()(

21

故CxF)(表示了)(xf的所有原函数，其中)(xF为)(xf的一个原函数。

定义2：)(xf的所有原函数称为)(xf的不定积分,记为dxxf)(，积分号，)(xf被

积函数，x积分变量。

显然CxFdxxf)()(

①Ckxkdx

②





















1ln

1

1

1

1











Cx

Cx

dxx

2、基本积分表(共24个基本积分公式）

3、不定积分的性质

①



dxxgdxxfdxxgxf)()()()(

②)0()()(kdxxfkdxxkf

⑤Cxxxdxxxdxdxxxxcsccotcotcsccsccotcsccsc2

⑥



Cxxxdxxdxdx

xx

xx

xx

dx

tancotccsc

cossin

cossin

cossin

22

22

22

22

⑦

Cxxdxxdxxcot1csccot22

2

§2、不定积分的换元法

一、第一类换元法（凑微分法）

1、baxd

a

dxbaxdbaxf

a

dxbaxf

1

,

1

即

例1、求不定积分

①Cxuduuxxxdxdx)5cos(

5

1

sin

5

1

555sin

5

1

5sin

②



CxCxxdxdxx8177721

16

1

21

17

1

2

1

)21(21

2

1

21

③





)20(arctan

1

1

1

222

C

a

x

a

ax

axd

a

xa

dx

























④





)23(arcsin

1222

C

a

x

ax

axd

xa

dx

























2、nnnnnndxdxxdxxf

n

dxxxf11,

1

即

例2、求不定积分

①CxCxxdxdxxx



2

3

2

1

2

1

2

2

1

2

21

221

3

1

1

1

1

2

1

11

2

1

1

②Cexdedxexxxx3

3

33

2

3

1

3

1

③

























































x

ddx

x

C

xx

d

x

dx

x

x

111

sin

11

cos

1

cos

1

22

④















xddx

x

Cxxdxdx

x

x

2

1

sin2cos2

cos

3、,tanc,sincos,cossin,,ln

1

2xdxdxxdxdxxdxdxdedxexddx

x

xx

,

,arcsin

1

1

,arctan

1

1

,ctanc

22

22

2

2

xaddx

xa

x

xddx

x

xddx

x

xdxdxx















①)16(clncosln

cos

cos

cos

sin

tanCxCx

x

xd

dx

x

x

xdx

3

②)17(coslnsinln

sin

sin

sin

cos

cotCxCx

x

xd

dx

x

x

xdx

③

















)18(tancln

tanc

tanc

tanc

tancc

cCxx

xx

xxd

dx

xx

xxx

xdx

④

















)19(cotcscln

cotcsc

cotcsc

cotcsc

cotcsccsc

cscCxx

xx

xxd

dx

xx

xxx

xdx

⑤Cx

x

xd

dx

xx

lnln

ln

ln

ln

1

⑥

















Cx

x

xd

xx

dx

1tanln

1tan

1tan

tan1cos2

⑦















Ce

e

ed

dx

e

e

x

x

x

x

x

1ln

1

1

1

⑧















Cex

e

ee

e

dx

x

x

xx

x

1ln

1

1

1

⑨









Ce

e

de

dx

e

e

x

x

x

x

x

arctan

1

122

⑩

Cexdedxe

x

x

xxx



2

12

2

1

2

1

2

1

1

例4、求不定积分

①













































ax

axd

ax

axd

a

dx

axaxa

ax

dx)()(

2

111

2

1

22

)22)(21(ln

2

1

C

ax

ax

a









②dx

x

x

dx

x

xx

dx

x

xx





























22

2

2

2

1

3

1

1

31

1

2



Cxxx

x

dx

x

xd

x









arctan31ln

2

1

1

3

1

1

2

1

2

22

2

③



























41

3

52

52

2

1

52

622

2

1

52

4

22

2

22x

dx

xx

xxd

dx

xx

x

dx

xx

x

C

x

xx





2

1

arctan

2

3

52ln

2

1

2

④Cxxxxdxdx

x

xdx



2sin

4

1

2

1

22cos

2

1

2

1

2

1

2

2cos1

sin2

4

⑤Cxxdxxxxdxx2cos

4

1

8cos

16

1

2sin8sin

2

1

3cos5sin

⑥Cx

x

xd

xx

xd

x

xdx

dx

x

x

sinlnln

sinln

sinln

sinlnsin

sin

sinlnsin

cos

sinln

cot

⑦C

x

x

x

xd

xdxdx

x

x

x

dx











cos

1

tan

cos

cos

c

cos

sin1

sin12

2

2

⑧



































44

csc

2

1

4sin2

sincos





xdx

x

dx

xx

dx

Cxx













































4

cot

4

cscln

2

1

二、第二类换元法

1、三角代换

例1、dxxa22

解：令)cos(sintatax或,则

tdtadxtaxacos,cos22

原式=















ttddt

a

dt

t

atdtata22cos

2

1

22

2cos1

coscos

2

2

C

a

xa

a

xa

a

xa

Ct

a

t

a







222222

2

4

arcsin

2

2sin

42

Cxax

a

x

a222

2

1

arcsin

2

1

例2、





C

a

x

ax

axd

xa

dx









arcsin

1222

解：令taxsin

原式=C

a

x

Ctdt

ta

tdta

arcsin

cos

cos

例3、

22xa

dx

解:令

)cot(tantatax或

，则tdtadxtaxa222c,c

5

原式=





















C

a

x

a

ax

Ctttdt

ta

tdta222

lntanclnc

c

c



)24(ln22Caxx

例4、

42xx

dx

解：令)cot(tantatax或，则tdtdxtx22c2,c24

原式=























C

a

x

a

ax

Ctttdt

ta

tdta222

lntanclnc

c

c

例5、

22ax

dx

解：令)csc(ctatax或,则

tdttadxtaaxtanc,tan22

原式=



















c

a

ax

a

x

Ctttdt

ta

tdtta22

lntanclnc

tan

tanc



)25(ln22Caxx

例6、



dx

x

x92

解：令taxc,则tdttdxtxtanc3,tan392

原式=Cttttdttdtt

t

t

tan31c3tan3tanc3

c3

tan3

22

C

x

xC

x

x

























3

arccos39

3

arccos

3

9

32

2

小结:)(xf中含有





















22

22

22

ax

ax

xa

可考虑用代换

















tax

tax

tax

c

tan

sin

2、无理代换

6

例7、

311x

dx

解：令

dttdxtxtx23

33,1,1则

原式=











































Ctt

t

dt

t

tdt

t

t

t

dtt

1ln

2

3

1

1

13

1

11

3

1

3222

Cxxx33

3

211ln3131

2

3

例8、

31xx

dx

解：令dttdxtxtx56

66,,则

原式=



























Cttdt

t

dt

t

t

tt

dtt

arctan6

1

1

16

1

6

1

6

22

2

23

5

Cxx66arctan6

例9、



dx

x

x

x

11

解：令2

2

21

2

,

1

1

,

1











t

tdt

dx

t

xt

x

x

则

原式=





























































C

t

t

tdt

t

dt

t

t

t

tdt

tt

1

1

ln

2

1

2

1

1

12

1

2

1

2

1

22

2

2

2

2

C

xx

xx

x

x













1

1

ln

1

2

例10、

xe

dx

1

解:令

1

2

,1ln,1

2

2





t

tdt

dxtxtex则

原式



















C

e

e

C

t

t

t

dt

dt

t

t

tx

x

11

11

ln

1

1

ln

2

1

2

1

2

1

21

22

4、倒代换

7

例11、



46xx

dx

解：令26

7

6

,

411

1

,

1

t

dt

dx

t

t

xx

t

x







则

原式



C

x

x

Ct

t

td

t

dtt

















4

ln

24

1

14ln

24

1

14

14

24

1

416

6

6

6

6

6

6

Cxx4ln

24

1

ln

4

1

6

§3、分部积分法

分部积分公式：VUUVVUVUVUUV



















,













VdxUdxUVdxVU

，故VdUUVUdV

（前后相乘）（前后交换）

例1、xdxxcos

Cxxxxdxxxxxdcossinsinsinsin

例2、dxxex

Cexedxexexdexxxxx

例3、xdxlnCxxxdx

x

xxxxxdxxln

1

lnlnln

或解：令textx,ln

原式CxxxCetedtetetdetttttln

例4、xdxarcsin



















Cxxx

x

xd

xx

dx

x

x

xxxxdxx

2

2

2

2

1arcsin

1

1

2

1

arcsin

1

arcsinarcsinarcsin

或解:令txtxsin,arcsin

原式CxxxCttttdtttttd21arcsincossinsinsinsin

8

例5、xdxexsin











xdxexxexdexexe

xdexexdxexexde

xxxxx

xxxxx

sincossincoscossin

cossincossinsin

故Cxxexdxexxcossin

2

1

sin

例6、dx

x

x

2cos

Cxxxxdxxxxxdclntantantantan

例7、



dxxx21ln











Cxxxx

dx

x

x

xxxdx

xx

xx

xxxx













22

2

2

2

2

2

11ln

1

1ln

1

11

1ln

§4、两种典型积分

一、有理函数的积分

有理函数

01

1

1

01

1

1

)(

)(

)(

bxbxbxb

axaxaxa

xQ

xP

xR

m

m

m

m

n

n

n

n



















可用待定系数法化为部分分

式，然后积分.

例1、将

65

3

2



xx

x

化为部分分式，并计算





dx

xx

x

65

3

2

解：





32

23

3232

3

65

3

2























xx

BAxBA

x

B

x

A

xx

x

xx

x





















6

5

323

1

B

A

BA

BA

故













Cxx

x

dx

x

dx

dx

xx

x

)3ln(6)2ln(5

3

6

2

5

65

3

2

或解：





















65

2

11

65

65

2

1

65

1152

2

1

22

2

2xx

dx

xx

xxd

dx

xx

x

I





















dx

xx

xx

2

1

3

1

2

11

65ln

2

1

2

9

C

x

x

xx







2

3

ln

2

11

65ln

2

1

2

例2、































dx

x

xx

dx

xx

xx

xx

dx

222)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

C

xx

x

dx

x

xx



































1

1

1

ln

)1(

11

1

1

2

例3、

C

x

x

x

x

x

xd

dx

x

x

x

dx

x

x



















































2

1

arctan

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

4

2

例4、















































dx

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

xx

x

dx

2

2

2

2

2

2

4

22

41

1

1

1

1

1

2

1

1

11

2

1

1

C

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xd

x

x

x

xd

































































































































2

1

2

1

ln

22

1

2

1

arctan

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

22

C

xx

xx

x

x





























21

21

ln

2

1

2

1

arctan

22

1

2

22

二、三角函数有理式的积分

对三角函数有理式积分

dxxxRIcos,sin，令ux

x

uarctan2,

2

tan则，

du

u

dx

u

u

x

u

u

x

22

2

21

2

,

1

1

cos,

1

2

sin















，故

























du

uu

u

u

u

RI

22

2

21

2

1

1

,

1

2

,三角函

数有理式积分即变成了有理函数积分。

例5、

x

dx

cos53

解：令ux

x

uarctan2,

2

tan则，

du

u

dx

u

u

x

22

2

1

2

,

1

1

cos











10

原式

C

x

x

C

u

u

u

du

du

u

u

u































2

tan2

2

tan2

ln

4

1

2

2

ln

22

1

41

2

1

1

53

1

22

2

2

例6、

5cossin2xx

dx

解：令ux

x

uarctan2,

2

tan则，du

u

dx

u

u

x

u

u

x

22

2

21

2

,

1

1

cos,

1

2

sin















原式



















2231

2

5

1

1

1

2

2

1

22

2

2

2

uu

du

du

u

u

u

u

u

C

x

C

u

u

ud











































5

1

2

arctan3

arctan

5

1

3

5

3

1

arctan

5

3

3

1

9

5

3

1

3

1

3

1

2

例7、





dx

x

x

cos1

sin1





















du

uu

uu

du

u

u

u

u

u

)1(

21

1

2

1

1

1

1

2

1

22

2

2

2

2

2



































du

u

u

uu

du

uuu2221

1

2

1

)1(

21

C

xx

Cuu

u



2

sinln2

2

cot1lnln2

1

2