方向余弦

矢量的方向余弦

矢量的方向余弦

矢量与坐标轴（或坐标矢量）所成的角称为矢量的方向角,方向角的余弦称为矢量的方

向余弦。一个矢量的方向完全可由它的方向角来决定。

矢量的方向余弦也可用矢量的分量来表示。

定理1.7.6非零矢量的方向余弦是

(1.7−10)

且

(1.7−11)

式中的分别为矢量与轴,轴,轴的交角，即矢量的三个方向角。

证因为且,

所以,

从而

同理可证（1.7-10）其余两式成立。由（1.7-10）立即可知（1.7-11）成立。

从定理1.7.6可以看出，空间的每一个矢量都可以由它的模与方向余弦决定，特别地，

单位矢量的方向余弦等于它的分量，

即有(1.7−12)

3)两矢量的交角

定理1.7.7设空间中两个非零矢量为和,那么它们夹角的

余弦是：

（1.7-13）

证因为

,

所以，

但是,

|,

所以（1.7-13）成立。

推论矢量与相互垂直的充要条件是

(1.7-14)

在平面直角坐标系下，平面上的矢量也有完全类似的结论.设平面上的两矢量为

与,那么有

(1.7−6′)

(1.7−7′)

(1.7−8′)

平面上两点间的距离为

(1.7−9′)

矢量α的方向余弦可以表示为

(1.7−10′)

且(1.7−11′)

在平面上的情形，我们还可以单独用从到的有向角来决定矢量的方向。

设,（图1-37），那么

,

因此，平面上的非零矢量的方向，完全可由轴（或坐标矢量）到矢量的有向角来

决定，所以平面上的矢量可写成

(1.7−12′)

矢量a与b的交角的余弦为

(1.7−13′)

矢量a与b垂直的充要条件为

(1.7−14′)