全等符号

板块

考试要求

A级要求B级要求C级要求

全等三角形

的性质及判

定

会识别全等三角形

掌握全等三角形的概念、判定和性质，

会用全等三角形的性质和判定解决简

单问题

会运用全等三角形的性

质和判定解决有关问题

全等三角形的认识与性质

全等图形：

能够完全重合的两个图形就是全等图形．

全等多边形：

能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．

全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形'''''ABCDE．

这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．

A'

B'

C'

D'

E'

E

D

C

B

A

全等三角形：

能够完全重合的三角形就是全等三角形．

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；

反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．

全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、

角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的

角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

(3)有公共边的，公共边常是对应边．

(4)有公共角的，公共角常是对应角．

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是

对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的判定方法：

(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程

中，注意有时会添加辅助线．

判定三角形全等的基本思路：

SAS

HL

SSS

















找夹角

已知两边找直角

找另一边

ASA

AAS

SAS

AAS

























边为角的对边→找任意一角→

找这条边上的另一角→

已知一边一角

边就是角的一条边找这条边上的对角→

找该角的另一边→

ASA

AAS











找两角的夹边

已知两角

找任意一边

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：

⑴平移全等型

⑵对称全等型

⑶旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)．

⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等

边)．

⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

与角平分线相关的问题

角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；

⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：

1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，

3．

OAOB

，这种对称的图形应用得也较为普遍，

A

B

O

P

P

O

B

AA

B

O

P

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤

其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的

基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，

尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点

难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，

要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表

示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

板块一、全等三角形的认识与性质

【例1】在AB、AC上各取一点E、D，使AEAD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，

若12，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．

2

1

E

O

D

C

B

A

【巩固】如图所示，ABAD，BCDC，EF、在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三

角形？请一一找出来，并简述全等的理由．

F

A

EP

D

C

B

板块二、三角形全等的判定与应用

【例2】(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，

ACDE∥

，

BCEF∥

，

ACDE

．求证：

AFBD．

F

E

D

C

B

A

【例3】(2008年宜宾市)已知：如图，ADBC，ACBD，求证：CD．

O

DC

BA

【巩固】如图，

AC

、BD相交于

O

点，且ACBD，ABCD，求证：OAOD．

A

B

C

D

O

【例4】(哈尔滨市2008年初中升学考试)已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，

BECF，BC．求证：OAOD．

F

E

O

D

CB

A

【例5】已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：BFCE．

F

E

C

B

A

【例6】

E

、F分别是正方形

ABCD

的

BC

、

CD

边上的点，且

BECF

．求证：AEBF．

P

F

E

D

C

B

A

【巩固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF．求证：

BGCFBC．

G

A

B

C

D

E

F

【例7】在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点．求证：AMCD．

M

E

DC

B

A

板块三、截长补短类

【例1】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，

射线MN与DBA∠外角的平分线交于点

N

，DM与MN有怎样的数量关系?

N

EBMA

D

【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于

点N，MD与MN有怎样的数量关系？

N

CD

EBMA

【例2】如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=

a

，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB

的长为()

A.

a

.

2

kh

D.h

M

D

C

B

A

【例3】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.

F

E

D

CB

A

【例4】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为

120

的等腰三角形，以D为顶点

作一个

60

的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

N

M

D

CB

A

【例5】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

C

E

D

B

A

板块四、与角平分线有关的全等问题

【例1】如图，已知

ABC

的周长是21，

OB

，

OC

分别平分

ABC

和

ACB

，ODBC于D，且

3OD

，求

ABC

的面积．

【例2】在

ABC

中，D为

BC

边上的点，已知BADCAD，BDCD，求证：ABAC．

【例3】已知

ABC

中，ABAC，BE、

CD

分别是

ABC

及

ACB

平分线．求证：CDBE．

E

D

C

B

A

【例4】已知ABC中，

60A

，BD、

CE

分别平分ABC和ACB，BD、

CE

交于点

O

，试判

断BE、

CD

、

BC

的数量关系，并加以证明．

O

E

D

C

B

A

【例5】如图，已知E是

AC

上的一点，又12，34．求证：EDEB．

E

D

C

B

A

4

3

2

1

【例6】(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，

EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．

A

D

O

CB

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

【例7】如图所示，已知

ABC

中，AD平分

BAC

，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求

证：EF∥AB

F

A

CDEB

【巩固】如图，在

ABC

中，AD交

BC

于点D，点E是

BC

中点，EFAD∥交

CA

的延长线于点F，

交AB于点

G

，若BGCF，求证：AD为

BAC

的角平分线．

F

G

ED

C

B

A

【巩固】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：

ABACPBPC．

CDB

P

A

【例8】如图，在ABC中，2BC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：ABBDAC．

D

CB

A

【例9】如图所示，在

ABC

中，ACAB，M为

BC

的中点，AD是

BAC

的平分线，若CFAD

且交AD的延长线于F，求证

1

2

MFACAB

．

M

F

D

C

B

A

【巩固】如图所示，AD是

ABC

中

BAC

的外角平分线，

CDAD

于D，E是

BC

的中点，求证

DEAB∥且

1

()

2

DEABAC

．

E

D

C

B

A

【巩固】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证2ABACAM．

M

D

CB

A

【例10】如图，ABC中，ABAC，BD、

CE

分别为两底角的外角平分线，ADBD于D，AECE

于E．求证：ADAE．

H

G

D

A

BC

E

【巩固】已知：AD和BE分别是ABC△的CAB∠和CBA∠的外角平分线，CDAD，CEBE，求

证：⑴DEAB∥；⑵

1

2

DEABBCCA

．

E

BA

D

C

【例11】在

ABC

中，MB、

NC

分别是三角形的外角

ABE

、

ACF

的角平分线，AMBM，

ANCN垂足分别是M、

N

．求证：MNBC∥，

1

2

MNABACBC

F

E

N

M

CB

A

【巩固】在

ABC

中，MB、

NC

分别是三角形的内角

ABC

、

ACB

的角平分线，AMBM，

ANCN

垂足分别是M、

N

．求证：MNBC∥，

1

2

MNABACBC

NM

C

B

A

【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作EABCE于，

并且)(

2

1

ADABAE，则ADCABC等于多少？

E

D

C

B

A

【例12】如图，180AD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上．

①探讨线段AB、

CD

和

BC

之间的等量关系．

②探讨线段BE与CE之间的位置关系．

E

D

CB

A

版块一、倍长中线

【例1】已知：

ABC

中，AM是中线．求证：

1

()

2

AMABAC

．

M

C

B

A

【例2】如图，

ABC

中，

，AD是中线．求证：

D

C

B

A

【例3】如图，已知在

ABC

中，AD是

BC

边上的中线，E是AD上一点，延长BE交

AC

于F，

AFEF，求证：ACBE．

F

E

DC

B

A

【例4】已知△ABC，∠B=∠C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底

BC于G，求证GD=GE．

G

E

D

C

B

A

【例5】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交

AC

于F．求证：

BECFEF．

M

F

E

CB

A

【例6】在

RtABC

中，

90A

，点D为

BC

的中点，点E、F分别为AB、

AC

上的点，且

EDFD．以线段BE、EF、

FC

为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、

直角三角形或钝角三角形？

F

E

D

CB

A

【巩固】如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果2222BMCNDMDN

，

求证222

1

4

ADABAC

．

N

M

D

CB

A

【例7】(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别

在边CA、CB上，满足90DFE．若3AD，4BE，则线段DE的长度为_________．

F

E

D

C

B

A

版块二、中位线的应用

【例8】

AD

是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交

AC

于E．求证：

1

3

AEAC

．

F

A

D

E

CB

【例9】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接

CE

、

CD，求证2CDEC．

E

D

C

B

A

【巩固】已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求

证CD=2CE

ED

B

C

A

【例10】已知：ABCD是凸四边形，且AC

交BD于N，AC和BD交于G点．求证：∠GMN>∠GNM．

N

M

G

F

E

D

C

B

A

【例11】在ABC中，90ACB，

1

2

ACBC

，以

BC

为底作等腰直角BCD，E是

CD

的中点，

求证：AEEB且AEBE．

E

D

C

B

A

【例12】如图，在五边形ABCDE中，90ABCAED，BACEAD，F为

CD

的中点．求证：

BFEF．

E

DF

C

B

A

【例13】(“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P是ABC内的一点，

PACPBC，过P作PMAC于M，PLBC于L，D为AB的中点，求证DMDL．

L

P

M

D

C

BA

【例14】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在

ABC

中，D为AB的中点，分别延长

CA

、

CB

到点

E、F，使DEDF．过E、F分别作直线

CA

、

CB

的垂线，相交于点P，设线段PA、PB

的中点分别为M、

N

．求证：

(1)DEMFDN≌；

(2)PAEPBF．

M

N

M

A

D

E

P

P

FE

D

C

B

A

【习题1】如图，已知ACBD，ADAC，BCBD，求证：ADBC．

D

C

B

A

【习题2】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求

证MN=MB+NC．

N

M

D

C

B

A

【习题3】在ABC△中，3ABAC，BAC的平分线交BC于D，过B作BEAD，E为垂足，求

证：ADDE．

C

E

D

B

A

【习题4】如图，在

ABC

中，

ABBDAC

，

BAC

的平分线AD交

BC

与D．求证：

2BC

．

D

CB

A

【习题5】如图，在等腰

ABC

中，ABAC，D是

BC

的中点，过A作AEDE，AFDF，且

AEAF．

求证：EDBFDC．

D

F

E

CB

A

【习题6】如图，已知在ABC中，AD是

BC

边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交

AC

于F，AF与EF相等吗？为什么？

F

E

DC

B

A

【习题7】如右下图，在ABC中，若2BC，ADBC，E为

BC

边的中点．求证：2ABDE．

EDCB

A