定积分求面积

1

利用定积分求面积

1.导数

()yfx在

0

xx处的导数,记作00

0

0

()()

()lim

x

fxxfx

fx

x









(也可记为

0

xx



y)

几个常用函数的导数：

（1）)'(c=0（c为常数）；（2）1()'nnxnx（a为任意常数）；

练习：

①已知S=πr2，求

r

S



②已知V=3

4

π

3

R，求

R

V



③已知y=x2+3x求（1）y



；(2)求y



︱

x=2

④已知y=x3求（1）y



；（2）y



︱

x=0

；（3）求曲线在（0，0）处的切线方程.

2.曲边梯形

在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。

例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形

的面积。

3．定积分的概念一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点

0121iin

axxxxxxb





将区间[,]ab等分成

n

个小区间，每个小区间长度为x（

ba

x

n



），在每个小区间



1

,

ii

xx



上取一点1,2,,

i

in，作和式：

11

()()

nn

nii

ii

ba

Sfxf

n









如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式

n

S无限趋近于常数S，那么称该常数

S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：

()b

a

Sfxdx

2．定积分的几何意义

如果在区间[,]ab上函数连续且恒有()0fx，那么定积分

()

b

a

fxdx表示由直线

2

,xaxb（ab），0y和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积。

说明：一般情况下，定积分()

b

a

fxdx的几何意义是介于

x

轴、函数()fx的图形以及

直线,xaxb之间各部分面积的代数和，在

x

轴上方的面积取正号，在

x

轴下方的面积

去负号．

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1abdx

b

a

1

性质2b

a

b

a

dxxfkdxxkf)()(（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）

性质3

1212

[()()]()()bbb

aaa

fxfxdxfxdxfxdx（定积分的线性性质）

性质4()()()()

bcb

aac

fxdxfxdxfxdxacb其中（定积分对积分区间的可加性）

例1．计算定积分

2

1

(1)xdx

练习

计算下列定积分

1．

5

0

(24)xdx

3.牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．



'

,,

,

fxab

Fxfx

如果是区间上的连续函数

并且则

b

a

fxdxFbFab

b

a

a

fxdxFxFbFa或

求定积分问题转化为求原函数的问题.

基本初等函数的导数公式

基本初等函数的原函数公式

12

y

xo

3

3

2

1

1

1:

x









例计算下列定积分

练习：求定积分

1

1

xdx



补充练习（选）

1

0

1()(3,4),()1,()fxfxdxfx、已知是一次函数，其图象过点且求的解析式

1

22

0

2()(2),()faaxaxdxfa、已知求的最大值。

3、已知f(x)=ax²+bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,

1

0

()2,,,fxdxabc求的值

例2．计算由两条抛物线2yx和2yx所围成的图形的面积.

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：

1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习计算由曲线36yxx和2yx所围成的图形的面积.

2xy

yx

A

B

C

D

O

4

例2．计算由直线4yx，曲线

2yx

以及x轴所围图形的面积S.

分析：首先画出草图（图1.7一2)，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯

形的面积问题．与例1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出

被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4yx

与曲线

2yx

的交点的横坐标，直线4yx与x

轴的交点．

由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，

再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．

练习

1、求直线32xy与抛物线2xy

所围成的图形面积。

2、求由抛物线

342xxy

及其在点M（0，－3）

和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。

3.（2008泰安）如图所示是二次函数的图象在轴上方的一部分，对于这段

图象与轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最

．

接近的值是（）

A．4B．C．D．

x

y

o

y=－x2+4x-3