完全平方数是什么

第十章数论之完全平方数

概念

在整数中，如果a=b2，则称a为完全平方数。

【相关公式】a2-b2=（a+b）（a-b）

（a±b）2=a2±2ab+b2

12+22+32+，，+n2=n（n+1）（2n+1）÷6

【解题思路及方法】运用完全平方数的性质来解题，如：

（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9；

（2）在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数；

（3）完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数；

（4）若质数p满足p|2，那么p|a。

例题

1.在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有多少个

2.下列四个数中：51有多少个完全平方数。

3.证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

4.证明39个5和4个0组成的数，不可能是完全平方数。

5.一个自然数X加上60,为一完全平方数。如果加上43,则为另一完全平方数，求X。

6.一个自然数X减去45及加上44都仍是完全平方数，求此X。

7.求一个能被180整除的最小完全平方数X。

8.一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和，是一个完全平方数，求这样的两

位数。

9.若自然数X2是一个完全平方数，则下一个完全平方数是多少

10.判断600，1234567，2209，333331哪些是完全平方数，如果不是请说明理由。

11.两个数x、y，它们的完全平方数之差A=1986，问这两个数是什么

12.两个完全平方数之差为147，问这两个数是什么

13.有这样的两位数，交换该数数码，所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数。例如：29

就是这样的两位数，29+92=121，而121是11的完全平方数。

14.求一个四位完全平方数n，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。

15.自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，且N的个位数字与十位数字也都是完全平方

数，这样的自然数有几个。

16.一个三位数abc，是个完全平方数，它的前两位数ab和个位c也都是完

17.将自然数的平方数从小到大依次排列成一串有序数列：6496481100…第11位上的数字

是9，第88位上的数字是多少。

18.一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少。

19.有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是什么

20.祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平

方数，则父亲的年龄是多少岁。

21.快乐小学为庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，团体操要求全体参加排练的学生恰好能排

成一个正方形队列，也能变成一个三角形队列。参加排练的学生至少要有多少人。

22.两个自然数A、B的平方和637，最大公约数M与最小公倍数G的和49。求A、B。

23.n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．

24.己知Z=169是3n+1型的完全平方数。反算：N+1是哪3个完全平方数之和。

25.己知Z=29929是3n+1型的完全平方数，反算：N+1是哪3个完全平方数之和．

26.证明：每四个连续自然数的积加1，必定是一个完全平方数

27.两个奇数的平方和一定不是完全平方数。如32+52=34≠y2、92+152=306≠y2等等

28.证明：两个质数的平方和一定不是完全平方数

29.（真题）若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。

30.从360到630的自然数中，有奇数个因数的数有哪些有且仅有三个因数的数有哪些

31.证明：不存在一个平方数的2倍，等于另一个平方数。即2n2≠m2

32.1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是多少。

33.已知×19是一个完全平方数，求它是谁的平方。

34.已知自然数n满足：12！除以n得到一个完全平方数，则n的最小值为多少。

35.下面是一个算式：1+2×1+3×2×1+……+20×19×18×……×2×1，这个算式的得数是否是

某个数的平方如果是，写出是谁的平方，如果不是请说明理由。

36.由5个1和5个6和3个5组成的13位数中，有没有平方数。如果有，写出是谁的平方，

如果没有请说明理由。

37.从3601到5000的自然数中，有奇数个因数的数有哪些有且仅有三个因数的数有哪些

38.1016与正整数a的乘积是一个完全平方数,则a的最小值是多少

39.把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数6……,请问这个多位数共有多少位数

字。

40.写出60到150之间存在哪些平方数，他们是谁的平方

41.请估算2304是谁的平方

42.495乘以一个自然数a，或者除以一个自然数b后，变成了一个完全平方数，请问a和b最

小是几

43.请写出200到300之间那一个数仅存在3个因数。

44.4,31,431,4431,44431,444431……中存在多少平方数。

45.n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．

46.一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整

数。

47.A是由2002个4组成的多位数，A是不是某个自然数B的平方如果是，写出B，如果不是请

说明理由。

48.自然数的平方按大小拍成1,4,9,16,25,...，请问第612个位置数字是几

49.证明如11,111,1111,11111，的数中有没有完全平方数。

50.有一个正整数的平方，最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小正整数。

51.能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗若能

够，请举出一例；若不能够；请说明理由。

52.已知ABCA是一个四位数若两位数AB是一个质数,BC是一个完全平方数,CA是一个质数与1

个不为1的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数有哪些

53.A是一个两位数,它的6倍是一个三位数B,如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的

五位数,并且这两个五位数的差是一个完全平方数（整数的平方）,那么A的所有可能取值之和

为。

54.有两个两位数,它们的差是14,将它们分别平方,得到的两个平方数末两位数相同，那么这两

个两位数是多少

55.（真题）两个完全平方数的差为77,则这两个完全平方数的和最大是多少最小是多少

56.求一个最小的自然数,它乘以2后是是完全平方数,乘以3后是完全立方数,乘以5后是完全5

次方数.

57.有5个连续自然数,它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数,则这五个数中最小数的

最小值为多少

58.有一个数加24,和减去30所得的两个数都是完全平方数,求这个数是几

59.一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少

60.已知3528a恰是自然数b的平方数,a的最小值是多少

答案与解析

1.奇数的平方是4N+1型奇数。一位数字为奇数的，只有1、9。二位数字以上的完全平方数，

末两位尾数不是奇偶就是偶偶，没有奇奇的，所以二位以上的完全平方数，没有全是奇数的。例

如1111111、13579、39等全奇数，都不可能是完全平方数。

答：2个，即1、9。

2.根据尾数判别法，完全平方数的末两位尾数只能是：、163656

769625496989。只有625681的尾是81，可能是完全平

方数。但还要作充份条件的判别：完全平方数的必要、充份条件是：它的各因数一定是偶次方。

最直接的方法是质因数分解。625681=72×1132，合符充份条件，所以625681是完全平方数。

答：只有625681是完全平方数。

3.答：奇数为2n+1，则它的平方为4n2+4n+1，显然除以4余1。现在这些数都是奇数，它们除

以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数。且奇数的平方，十位数字必是偶数，而11、111

等，十位上的数字为1，所以不是完全平方数。

4.答：555...550000的数字和为39×5=195，195的数字和为1+9+5=15，15的数字和为6。但

完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。所以它不可能是完全平方数。

5.设这个自然数为x，x+60=a2，x+43=b2，

则：a2-b2=60-43=17，（a+b）（a-b）=17×1，

所以a+b=17，a-b=1，

因此，a=9，b=8，

答：这个数是92-60=81-60=21．

6.设这个自然数是x,并设

x-45=a2

x+44=b2

第二个式子减第一个式子得

b2-a2=89

(b+a)(b-a)=89×1

可知b+a>b-a,所以

b+a=89

b-a=1

解得：b=45,a=44,

此时x=1981；

答：这个自然数是1981.

7.180=2×2×5×3×3

2,3都是一对的,所以不需要再乘了,由此可知180的因数里缺了5

这个数,也就是180×5=900

答：该最小完全平方数是900

8.设这样的两位数是AB，题意AB＋BA＝X2，

即10A+B+10B+A=X2，11(A+B)＝X2，可见A+B应=11。

若A=2则B=9…等等。检算如下：

ABABBAAB＋BA是否是完全平方数

292992121是11的平方

383883121是11的平方

474774121是11的平方

565665121是11的平方

656556121重复了

答：这样的两位数是29384756

9.X的下一个数是X+1，它的完全平方数是(X＋1)2=X2+2X+1，

例如42=16，4+1=5，52=16+8+1=25

答：是X2+2X+1。

10.两个相邻的完全平方数之间没有其余的完全平方数，因此600不是。末尾不能使0,1,4,,9

以外的数字，因此1234567不是，1的前面是一个偶数，333331排除。因此2209是完全平方

数，472。

答：2099是完全平方数。

11.这两个数是X、Y。

有A=Y2－X2=(Y＋X)×(Y－X)＝1986。

1986因数分解：1986=1×1986，(Y+X)×(Y－X)=1986×1，

(Y+X)=1986，(Y－X)=1，2Y=1987

Y=，X=。

虽然Y2－X2=－=1986，但X、Y不是正整数，所以无解

从上面两个计算结果可见：如果A分出的两个因数(Y+X)、(Y－X)不是同奇或同偶，则所得的

X、Y必然不是整数，因此，此时无X、Y的整数解。

答：无整数解。

12.这两个数是X、Y。有Y2－X2=(Y＋X)×(Y－X)＝147。147因数分解：

一147=147×1分出的因数同奇，有整数解。

(Y+X)×(Y－X)=147×1，(Y+X)=147，(Y－X)=1，2Y=148，Y=74，X=73

二147=49×3，(Y+X)×(Y－X)=49×3，(Y+X)=49，(Y－X)=3，2Y=52，Y=26，X=23

三147=21×7，(Y+X)×(Y－X)=21×7，(Y+X)=21，(Y－X)=7，2Y=28，Y=14，X=7

答：有三组：(73、74)、(23、26)、(7、14)。

13.设该数为AB，于是有（10A＋B）＋（10B＋A）＝C2

（10A＋B）＋（10B＋A）＝11A+11B=11(A+B)=C2

要得到C2，必须使(A+B)＝11

这样的两位数有：29.38.47.56.，得：

29+92=121=11238+83=121=11247+74=121=11256+65=121=112

答：这样的两位数有：29.38.47.56.

14.凡aabb型的完全平方数，bb只有0044两类，所以可凑：

aabb=1100、2200、3300、9900，都开方，得不到整数。

aabb=1144、2244、3344、9944都开方，除√7744=88外，也都得不到整数。所以aabb=7744

答：n=7744

15.因为两位数的完全平方数只有1。其中只有49一个数，它的个位数

字与十位数字都是完全平方数。

答：1个，就是49。

16.个位c只能是1、4、9，前两位数ab只能是1，组合为完全平方数

abc，只能是361=192、169=132

用16分别配1、4、9，找出了完全平方数169，

用25分别配1、4、9，找不出完全平方数

用36分别配1、4、9，找出了完全平方数369

…

用81分别配1、4、9，找不出完全平方数。最后，169+361=530。

答两个三位数的和是530

17.先列出有关的自然数及其完全平方数：

123456…9101112…313233…

149162536…81100121144...9611024…

平方数为一位数的有3个，共1×3=3个数字

平方数为二位数的有9-4+1=6个，共2×6=12个数字

平方数为三位数的有31-10+1=22，个共3×22=66个数字

以上共计3+12+66=81个。

再从32的平方1024起算，第82位是1024的1，第88位的数字是1089中的8

答：第88位上的数字是8。

18.2940=2×2×3×5×7×7=22×72×15。如果再乘一个15，就成为完全平方数了。所以这个数

为A，A=15。验证：2940A=2940×15=44100=2102。如果A=15×22也可以使2940A成为完全平方

数，但大了4倍。所以A=15为最小。

答：这个最小的数是A=15。

19.设：这两个两位数为A与B，B=A+56。其中A最小为10，最大为43，先解决一位数字相同，

再解决一位数字相同。先以下分析：

A122…4243

B=A+5666676869767778…9899

A2尾数4…

49

B2尾数6941014965694…

41

可见一位数字相同的是17与73、22与78等七组，所以又有以下分析：

A737

B=A+5668788898738393

A2尾数9

B2尾数4624632968898649

其中，尾二位数字84相同，只有A=22和B=A+56=78。

答：A=22B=A+56=78

20.父亲的年龄A据题意有1512A=B2

1512=23×33×7根据完全平方数因数指数为偶的原理，A应=2×3×7＝42这样，

1512×A＝1512×42=63504=2522才合题意，所以A取42。

答：父亲的年龄42，且估计孙子的年龄21、爷爷的年龄72。

21.N12345678

正方形队列是64…S=NN

三角形队列是1361…S=N(N+1)∕2

可见至少要有36人，才同时满足两种队形。

答：至少要有36人。

22.以短除法表示M∣ABA＝M×aB=M×b

最大公约数M

ab最小公倍数G＝M×a×b

题意：A2+B2=637M+G=49求AB

A2+B2=M2a2+M2b2=M2(a2+b2)=637=72×13→M2(a2+b2)=72×13

M+G=M+Mab=M(1+ab)=49

M2(a2+b2)=72×13…(1)

→M2=72

→M=7

→(a2+b2)=13…(3)

M(1+ab)=49…(2)

→7(1+ab)=49

→(1+ab)=7…(4)

解(3)、(4)得M=7a=2b=3

A＝M×a=7×2=14B=M×b=7×3=21

答：A=14B=21

23.答：设3n+1=m2，显然3不能整除m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．

一若rn=3k+1，则3n+1=(3k+1)2，3n+1=9k2+6k+1，3n=9k2+6k，n=3k2+2k3n+1=3k2+2k+1=

k2+k2+(k2+2k+1)=k2+k2+(k+1)2，即三个平方数之和。

二若m=3k+2，则3n+1=(3k+2)2，3n+1=9k2+12k+4，3n=9k2+12k+3，n=3k2+4k+1，

n+1=3k2+4k+2=k2+(k+1)2+(k+1)2，也是三个平方数之和。

故n+1是3个完全平方数之和。验算：

n=15

3n+1=m2416(为完全平方数)

rn=3k+124

k1/31

n+1=26

k2+k2+(k+1)22=++6=1+1+4(验证n+l是三个平方数之和)

n=8133

3n+1=m225400(为完全平方数)

m=3k+2520

k=16

n+1=9134

k2+(k+1)2+(k+1)2=9=1+4+4134=36+49+49(验证n+l是三个平方数之和)

24.己知Z=169，3n+1=169，N=56，N+1=57，Z=M2，M=√169=13，K=4，M=3K+1由公式N+1=

k2+k2+(k+1)2，57=42+42+52=16+16+25证毕

答：Z=169是3n+1型的完全平方数，则N+1=57。而是M=√Z=13是3K+1型的数，N+1是4、4、

5三个数的平方之和。

25.己知Z=29929，3n+1=29929，N=9976，N+1=9977，Z=M2，M=√Z=√29929=173，M=3K+2，K=57

则有N+1=k2+(k+1)2+(k+1)2，9977=572+(57+1)2+(57+1)2=572+582+582=3249+3364+3364=9977

答：Z=29929是3n+1型的完全平方数，N+1=9977。而是M=√Z=173是3K+2型的数，N+1是57、

58、58三个数的平方之和

26.答：x(x+1)(x+2)(x+3)+1=x4+6x3+11x2+6x+1=x4+6x3+（9x2+2x2）+6x+1=x4+6x3+9x2+（2x2+6x）

+1=x2(x+3)2+2x(x+3)+1=[x(x+3)]2+2x(x+3)+1

=[x(x+3)+1]2=(x2+3x+1)2=[x(x+1)+(2x+1)]2

而x(x+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2x+1是奇数，因而[x(x+1)+(2x+1)]是奇

数。这就证明了它是一个是一个平方数，而且是一个奇数的平方。例如3×4×5×6+1=361=92

27.一个奇数的平方是4N+1型的奇数，即除以4余1。两个奇数的平方之和，即除以4余2。二

个奇数平方之和，应是偶数，而偶数的平方是4N型的偶数，即除以4余0。这样，等于前，两个

奇数的平方和的余数为2，等于后是偶数，余数为0，两者矛盾。所以，两个奇数的平方和(是个

偶数)，肯定不是完全平方数。

28.答：除2外，全部质数是奇数。所以，“两个质数的平方和一定不是完全平方数”，是“两个

奇数的平方和，一定不是完全平方数”的特例。只须补证：质数2的平方与其他质数的平方和，

一定不是完全平方数就行了。

用反证法，假设存在质数a和b，a=2，使22+b2=c2，是完全平方数。则22=c2-b2=(c-b)×(c+b)。

即4=(c-b)×(c+b)。有两种可能：

一(c-b)×(c+b)=2×2，只能取b=0、C=2，但b=0、C=0不对题。所以上述等式不成立。

二(c-b)×(c+b)=1×4，(c-b)=1、则b是奇、c是偶，(c-b)=1是奇、(c+b)也是奇。所以

(c-b)×(c+b)也是奇，而不是4，因此上述等式也不成立。

这就反证了“质数2的平方与其他质数的平方和，一定不是完全平方数”。

29.答：完全平方数末两位数字相同的，只有00、44，所以此数只能是A0000或A4444。设此

数为A×10000+4444=4×（2500A+1111）

完全平方数的因数应为偶次方。现4是平方数，所以要求2500A+1111也是平方数，其中2500A，

不论A有多大，末两位总是00(如A=19，有2500A+1111=47500+1111=48611)。所以

2500A+1111的末两位，总是11，这不可能是平方数。所以，末4位如果是4444，它不可能是完

全平方数。

30.奇数个因数为完全平方数，从192到252，共有7个。三个因数为指数的完全平方数，有

192,232。

31.答：先假设2n2=m2存在。分析：因为2n2是偶数，所以m2是偶数，m是偶数。因此可设

m=2a，回代到2n2=m2，又有2n2=m2=(2a)2=4a2→n2=2a2，n2是偶数，n是偶数。又设

n=2b，(2b)2=4b2=2a22b2=a2，所以a2是偶数，a是偶数。这样，可以反复进行，以致无穷。由于

m和n都是有限的，即使他们都是偶数，也可以通过有限次的约去2而成为奇数，不可能无穷的

都是偶数，所以这个过程不可能无穷次进行下去。说明这个假设是错误的，于是命题得证。

实际上m2∕n2不可能为2，见下表：

m234567810110001

n0000

m2∕n241..021

其实2n2=m2，就是m∕n=√2，√2是个无理数，而无理数是无法用分数表示的，光凭这一

点，就能证明2n2=m2不存在。

32.先将1016分解质因数，1016=22×127，由于1016是一个完全平方数，所以a至少为2×

127=254。

答：a的最小值为254。

33.数字有明显的规律，采用递推法来求解：121=112；12321=1112,1234321=11112……，于是

我没归纳为1234…n…4321=（111…1）2，所以=，则×49=×72，所以原式的乘积为7777777。

答：是7777777的平方。

34.12！除以n得到一个完全平方数，12！的质因数分解式中3、7/11的幂次是奇数，所以n的

最小值为3×7×11=231。

答：n的最小值为231。

35.答：这个结果的末尾取决于1+2+6+4+0+……+0=13，是3，所以这个结果不是完全平方数。

36.答：这些13位数的数字之和为5×1+5×6+3×5=50，50+3……2，因为完全平方数除以3只

能余0或1，所以这些13位数中无完全平方数。

37.有奇数个因数的数是完全平方数，在3601-5000之间的完全平方数有

612=3721,622=3844,632=3969,642=4096,652=4225,662=4356,672=4489,682=4624,692=4761,702=4900.

有且仅有三个因数的数是质数的平方，所以612=3721,672=4489。

答：3721和4489。

38.1016=23×127=22×2×127，由于2和127都是质数，所以a的最小值为2×127=254。

答：a的最小值为254。

39.平方数1-3是1位数有3个，4-9是2位数有6个，10-31是3位数有有22个，32-50是4

位数有19个，所以总位数是3+6×2+22×3+19×4=157。

答：一共有157位数字。

40.122=144＜150,82=64＞60，所以存在82,92...122，分别是64，81,100,121,144，他们是8,

的平方。

答：分别是64,81,100,121,144，他们是8,9,10,11,12的平方。

41.452=2025小于2304小于2500=502，所以是45到50中间某个数的平方，据尾数分析，8×

8=4，所以是48的平方。

答：是48的平方。

42.分解质因数495=32×51×11,495a要变成平方数，需要使质因数的指数变成偶数，故a为5

和11的乘积=55，同理b最小也为55。

答：a和b最小都为55。

43.只有3个因数的数是质数的平方。172=289＜300,152=225＞200，所以存在152,162,172，其

中是质数的平方为172=289。

答：289。

44.从31开始后面的数除以4都余3，需要成为完全平方数需要除以4只能余0,1，所以31开

始后面的全都不是平方数，只有一个平方数4。

答：4。

45.答：设3n+1=m2，则m=3k+1或m=3k+2（k是正整数）．若m=3k+1，则n＝（m21）/3＝

3k2+2k．

∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+（k+1）2．

若m=3k+2，则n＝（m21）/3＝3k2+4k+1

所以n+1=3k2+4k+2=k2+（k+1）2+（k+1）2．

故n+1是3个完全平方数之和．

46.设所求正整数为x，则：x+100=m2①；x+168=n2②；其中m，n都是正整数，②-①得n2-

m2=68，即（n-m）（n+m）=22×17③；因n-m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n-m，n+m都是偶

数．注意到0＜n-m＜n+m，由③可得n-m=2n+m=2×17．解得n=18．代入②得x=156，即为所

求．

答：正整数为156。

47.答：A=444...4=22×111...1，如果A是某个自然数的平方，则111...1也是某个自然数的

平方，由奇数的平方除以4的余数为1克制，奇数的平方减1应该是4的倍数，而111...1-1不

是4的倍数，所以A不是某个自然数的平方。

48.1-3的平方是一位数，占去3个位置；4-9的平方是二位数，占去12个位置；10-31的平方

是三位数，占去66个位置；32-99的平方是四位数，占去272个位置；将1到99的平方排成一

行，共占去3+12+66+272=353个位置，从612-353=259个位置，259=51×5+4．

从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去259位置中的255个．151×

151=22801，从左到右的第4个位置上是0，即第612个位置上的数是0．

答：0。

49.答：由于奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能

被4整除，因此奇数除以4的余数都为3，不能为完全平方数。

50.因为自然数的平方，尾数一定是1，4，5，6，9，又因最后三位数字相等，则该自然数的平

方的后三位可能为111，444，555，666，999，根据题意，从1开始验证，1111、1444、1555、

1666、1999中1444符合要求，最小正整数是38，其平方是1444．

答：这类自然数中最小的是38．

51.答：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，即正整数的平方被4除余0或1．

若存在正整数满足ninj+2002=m2；i，j=1，2，3，4，n是正整数；

∵2002被4除余2，

∴ninj被4除应余2或3．

（1）若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，

设n1，n2是偶数，则n1n2+2002被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，故正整数

n1，n2，n3，n4中至多有一个是偶数，至少有三个是奇数．

（2）在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，

根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与ninj被4除余2或3的

结论矛盾．综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是

完全平方数．

52.已知ABCA是一个四位数若两位数AB是一个质数,BC是一个完全平方数,CA是一个质数与1

个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数有：3163,8368。

答：3163，8368。

53.6A=B1000A+B-100B+A是平方数1006A-601A是平方数405A是平方数405=9^2×5A含

有5的因子,即A=5×平方数能取的平方数为4,9,16,于是A的所有可能取值之和为5×

(4+9+16)=145。

答：145。

54.设一个数为x,则另一个为y，

y=x+14平方后为y2,x2,

(x+14)2-x2=[(x+14)-x][(x+14)+x]=14(2x+14)=28(x+7)

因为得到的两个平方数末两位数相同所以最后2位为0,则x+7最后的2位必须为25的倍数

x=25m-7，y=25m+7比如x=18，y=32；x=43，y=57

答：这两个两位数是43和57。

55.假设这两个完全平方数为n2(m+n)(m-n)=7×11

∵m、n均是自然数

∴如果m+n=11,则m-n=7

∴m=9,n=2

如果m+n=7,则m-n=11

∴m=9,n=-2（不符合题意,舍去）

如果m+n=77,m-n=1

则,m=39,n=38

所以，m2+n2最小值为92+22=85，最大值392+382=2965

答：最小值85，最大值2965。

56.首先,这个数含有因数2,3,5

乘2是个完全平方数,那么3和5的次方数一定是2的倍数,且2的次方数为奇数

乘3是个完全立方数,那么2和5的次方数一定是3的倍数,且3的次方数为3的倍数减1

乘5是个完全5次方数,那么2和3的次方数一定是5的倍数,且5的次方数为5的倍数减1

2的次方数是3和5的倍数,且为奇数,最小为15

3的次方数为2和5的倍数,且为3的倍数减1,最小为20

5的次方数为2和3的倍数,且为5的倍数减1,最小为24

所求最小的自然数为：215×320×524

答：所求最小的自然数为：215×320×524

57.设五个数分别是明显可以得到a-2+a-1+a+a+1+a+2=5a

由于五个数和是平方数.所以.平方数的尾数一定是5或者0

再由中间三数为立方数.所以a-1+a+a+1=3a,所以立方数一定是3的倍数.

所以

这个数a一定是32×53=1125

所以最小数是1125-2＝1123

答：1123。

58.一个数加24,和减去30所得的两个数都是完全平方数,则这两个完全平方数之差是54。而两

个完全平方数的差要么是厅数要么是4的倍数,很显然54不是奇数也不能被4整除。

答：不存在。

59.第一个平方数为b2，第二个平方数为a2，由题意得：

b2+100=a2+63，

a2-b2=100-63=37，

即：a2-b2=37=37×1

考虑同奇偶性，可知a=19，b=18，

这个数为a2+63=19×19+63=424；

答：这个数是424．

60.将3528分解为2×2××2×3×3×7×7=22×32×72×2

所以amin=2。

答：a的最小值为2。

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