2的x次方求导

对xx此类函数的新解法

摘要：用一种已知的知识解决未知的问题。数学的思维就是把未知的问题转

化成已知的问题，或者说数学的思维就是把未知转化成已知问题的过程！对于一

个没有见过，但是似曾相识的对象时，我们应该怎么办呢？是创造新的方法，还

是转化成已知的问题呢，我选择后者，因为它更加符合数学的思维。下面就让我

们把xX

这个转化成我们已知的问题，去解决！

xX

这个函数是一个很复杂的函数，它不是我们已知的基本初等函数，也不

是复合函数，称之为幂指函数。对此类函数书有具体的解法，如下：

方法一：

xyx

………………（1）

对等式两过同时取以e为底的自然对数得：

lnlnlnxyxxx………………（2）

利用隐函数求导方法，对等式两边同时求导得：

1

ln1yx

y





………………（3）

然后移项整理得到最终的结果：

(ln1)(ln1)xyxyxx





……（4）

课本中的这个方法，在第（3）步用到了隐函数求导方法，这是我们之前所

没有接触过的新知识，要把这个问题转化到用我们已有的知识去解决，就要跳过

隐函数求导法，当然书中的方法是做不到的，但是我们应该相信这个方法是正确

的，如此以来我们就可以用书中的解法得到的结果，来验证我们新方法是否真的

有效！

函数

xx我们可以看出它和

xa相似，又和

ax相似，是否与他们有关系呢？，

这只是我一个猜测，那么我就以

xa型函数求导方式对其求导得到：

以

xa型函数求导：

()lnxxxxx





…………………………………………（5）

此式与我们正确的结果

(ln1)lnxxxxxxxx

不相同，但是却与

其中一个加项相同，既然和

xa

相似，按其方式求导后可以得到一个加项，那么

我不由地想到，按

ax

型进行求导后是不是可以得到另一个加项呢？带着疑问我

进行了计算：

以

ax

型函数求导：

1()xxxxxxx

………………………………（6）

果然是另一个加项，当们把（5）、（6）相加后得到：

()lnxxxxxxx





与我们正确的结果一样，那么我就可以进行总结得出其解法步骤了：

方法二：

第一步：把

xx看成

xa型函数进行求导得到结果A；

第二步：把

xx看成

ax型函数进行求导得到结果B；

第三步：把A、B相加；

第四步：整理得到结果

()xx



=A+B；

我们这四步中，前两步是初等函数求导，第三步和第四步是初中的知识，我

们是不是已经找到了把

xx求导的问题转化成我们已知的问题了呢！或许这是不

是仅仅是一个巧合呢？对于其他类似于此的复合函数是不是也会得到同样的答

案呢？如果真的能得到，那么我们就找到了，把

xx求导的问题转化成我们已知

的问题的方法！

带着这一系列的疑问我用

avbu

，

()uux

，

()vvx

进行验证：

首先我们先用书中给出的方法进行计算：

avbyu

对等式两过同时取以e为底的自然对数得：

lnln()lnavbyuavbu

利用隐函数求导方法，对等式两边同时求导得：

11

ln()yavuuavb

yu





然后移项整理得到最终的结果：

1

[ln()]avbyavuuavbu

u





…………（7）

接下来就是见证奇迹的时刻！

以

xa

型函数求导：

()lnavbavbuuuau



以

ax型函数求导：

()()

avb

avb

u

uavbu

u







相加：

()ln()

avb

avbavb

u

uuuuavbu

u







整理：

1

()[ln()]avbavbuavuuavbu

u





…………（8）

可以看出我们得到的结果（8）式与书中给出的结果（7）式完全相同！所以

这不是一个巧合！但是哪个更简便一些呢？

从步骤上看：

方法一用了求对数，隐函数求导，整理三个步骤；

方法二用了

xa型求导，

ax型求导，相加，整理4步。

方法一中涉及的隐函数求导，是我们没有接触过的新知识，方法二中只用到

了初等函数求导，方法一书写简单，方法二书写复杂。各中利弊由自己去感受。

现在我们已经成功找到了一个可以把

xx此类函数转化成我们已知问题的

方法！我认为数学关键是的数学思维，因为在我们的生活中用到不是数学中复杂

的公式，而是一个不断创新和探索的过程用到的数学方法，把未知的问题，转化

成已知问题是我们运用到的数学思维，所以我认为方法二技高一筹！

参考文献：[1]经济应用数学基础（一）《微积分》（第三版）赵树嫄主编中国

人民大学出版社；