向量公式

平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：

①交换律：abba；

②结合律：abcabc；③00aaa．

⑸坐标运算：设

11

,axy，

22

,bxy，则

1212

,abxxyy．

向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设

11

,axy，

22

,bxy，则

1212

,abxxyy．

设、两点的坐标分别为

11

,xy，

22

,xy，则

1212

,xxyy．

向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．

①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；

当0时，a的方向与a的方向相反；

当0时，0a．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．

向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设

11

,axy，

22

,bxy，其中0b，则当且仅当

1221

0xyxy时，向量a、0bb共线．

平面向量基本定理：如果

1

e、

2

e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，

有且只有一对实数

1

、

2

，使

1122

aee．（不共线的向量

1

e、

2

e作为这一平面内所有向量的一组

基底）

分点坐标公式：设点是线段

12

上的一点，

1

、

2

的坐标分别是

11

,xy，

22

,xy，当

12



时，点的坐标是1212,

11

xxyy













．（当1时，为中点公式。）

平面向量的数量积：

⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①0abab．②当a与b同向时，abab；当a与b

反向时，abab；

2

2aaaa或aaa．③abab．

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐标运算：设两个非零向量

11

,axy，

22

,bxy，则

1212

abxxyy．

若,axy，则

2

22axy，或22axy．设

11

,axy，

22

,bxy，则

1212

0abxxyy．

设a、b都是非零向量，

11

,axy，

22

,bxy，是a与b的夹角，则

1212

2222

1122

cos

xxyy

ab

ab

xyxy











．