最大的合数

因数、倍数、质数、合数

一、因数倍数的特征

1、重点归纳

（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的

因数是它本身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它

本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的

倍数。

（2）2、3、5、9倍数的特征：

2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；

5的倍数的特征：个位数字是0或5；

同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；

3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；

9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。

同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的

数字之和是3的倍数

（3）质数（素数）、合数

最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。

最小的合数是4，没有最大的合数。

1既不是质数，也不是合数。

（4）分解质因数的方法

用短除法，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，

一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商

写成相乘的形式。

（5）奇数、偶数的运算性质：

奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=

奇数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数

偶数×偶数=偶数

2、典型练习

（1）判断：因为48÷8=6，所以说48是倍数，8是因数。

（）

因数和倍数的关系式相互依存的，不能说某一个数是因数或倍

数，可以说“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。

（2）用a表示一个大于1的自然数，则a2一定是（）。

A、奇数B、偶数C、质数D、

合数

二、两数互质的几种特殊情况：

（1）两个不相同的质数一定是互质数。如：7和13、17和19是互

质数。

（2）两个连续的自然数一定是互质数。如：4和5、13和14是互质

数。

（3）相邻的两个奇数一定是互质数。如：5和7、75和77是互质数。

（4）1和其他所有的自然数一定是互质数。如：1和4、1和13是互

质数。

（5）2和任意一个奇数都是互质数。如2和1、2和9都是互质数。

（6）一个奇数和质因数只有2的偶数都是互质数。如9和4、3和8

都是互质数。因数只有2的偶数，指的是如8=2×2×2，

16=2×2×2×2；32=2×2×2×2×2……

三、最大公因数和最小公倍数

1、重点归纳

（1）在求最小公因数和最大公倍数的时候，我们要区分两者的区别

与联系。两者都可以用短除法来求，但是前者是所有的除数相乘，而

后者是把除数和商连乘起来而得到。

（2）求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况：

①1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。

②倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的

数。举例：15和5，[15，5]=15，（15，5）=5

③互质的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。举例：

[3，7]=21，（3，7）=1

（3）在解决最大公因数和最小公倍数的实际问题中，一般问题中有

“最大”、“最多”是求最大公因数的问题；一般问题中有“最少”、

“至少”是求最小公倍数的问题。

（4）两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的一个重要性质

是：

最大公因数×最小公倍数=两个数的乘积

（5）求两个数的最小公倍数的方法：这两个数的公有质因数与独有

质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数。

2、典型练习

例1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，

另一个是数（）。

例2、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多

少

例3、甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，这两个数的最小公倍数

是（）。

分析：根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数

与独有质因数的连乘积，进行解答即可。

解答：因为甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，

所以这两个数的最小公倍数是2×3×5×2×3=180．

例4、学校举行春季运动会，六1班人数的

8

3

参加田赛，

7

3

参加径赛，

六1班人数是（）人。

分析：由六1班人数的

8

3

参加田赛，

7

3

参加径赛参加径赛”，求

出要求六1班人数，也就是求7和8的最小公倍数。

7和8的最小公倍数是7×8=56，

例5、能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（）

分析：可先求出能同时被2、3、5整除的最小的数，也就是它们的最

小公倍数为30（2、3、5互质，最小公倍数等于这三个数的乘积），

由此解决问题。

解答：能被2、3、5整除的最小的数是30，30+1=31

例6、一筐苹果（在100以内），按每份3个分多1个；每份5个分

多3个，每份7个分多2个，这筐苹果原有（）个。

分析：按每份3个分多1个；每份5个分多3个，每份7个分多2个，

这筐苹果加上2个，就是3个分和5个分没有剩余，7个分剩4个，

即是15的公倍数，求出100以内15的公倍数，然后再满足7个分多

4个的数，最后减去2即可。

解：100以内15的公倍数有：30、45、60、75、90，

7个分多4个是：60，所以这筐苹果原有：60-2=58个

例7、从学校到文化中心的这段公路一侧，一共有37盏路灯（两端

均安装），原来每两盏灯之间相距50米，选择要改成每两盏之间相

距60米，除去两端不移动外，中间有多少盏路灯不需要重新安装

分析：即求出50和60的最小公倍数，是300，也就是说每300米就

有一盏灯不需要重新安装；再求出这段路的总长里有多少个300米即

可。6段，共有7个点，除去两头，还有5根不动，可以看图.解答：

[50，60]=300（37-1）×50=1800（米）1800÷300=66+1-2+5

例8：用96朵红花和72朵黄花做花束,如果每个花束里的红花朵数

同样多,每个花束里的黄花也同样多，且两种花都没有剩余。每个花

束里最少有多少朵花

分析：看到最少，不能错认为是求最小公倍数，花束例的花朵数要最

少，说明花束要最多，也就是96和72最大公因数，再把每束花例的

红花朵数和黄花朵数加起来即可。

解答：96和72的最大公因数是24，96÷24+72÷24=7(朵)

练习

一、填空题

1、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是

714，这两个数各是（）和（）。

2、一个数与48的最大公约数是12，最小公倍数是144，这个数是

（）。

3、既有因数3，又是5的倍数的最小三位数是（）

【分析】根据3的倍数的特征，各个数位上的数字之和是3的倍数，

这个数就是3的倍数．5的倍数特征是：个位上是0或5的数是5的

倍数．所以既有因数3又是5的倍数最小三位数是105．

4、甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，当A=（）时，甲、乙

两数的最小公倍数是630。

解答：因为甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，

所以这两个数的最小公倍数是2×3×5×7×A=630，210×A=630，

A=3

二、选择题

1、a÷b=9（a、b都是整数），那么a与b的最小公倍数是（）

A、aB、bC、abD、

9

注：成倍数关系的两个数，大的数是小的数的最小公倍数。

2、甲数×3=乙数，（甲乙都是非0自然数），则乙数是甲数的（）

A、倍数B、因数C、自然数

D、质数

3、下面的数，因数个数最少的是（）

A、16B、36C、40

【考点】找一个数的因数的方法．

【分析】根据找一个数因数的方法分别找出16、36、40的因数，然

后数出个数，比较即可．

【解答】解：16的因数有：1、2、4、8、16，共5个；

36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个；

40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，共8个；故选：

A．

4、1、3、7都是21的（）

A、质因数B、公因数C、奇数D、

因数

解：因为1×3×7=21，所以1、3、7是21的因数；

因3、7都是质数，3、7是21的质因数，但1既不是质数，也不是

合数，．

故选D．

5、28□同时是2、3的倍数，□中可能是（）

A、0或2或4或6或8B、2或5或8C、2或8D、以上说

法都不正确

考点：找一个数的倍数的方法；数的整除特征．

分析：根据能被2和3整除的数的特征：个位是偶数，并且该数各个

数位上数的和能被3整除；进行解答即可．

解答：因为2+8+2=12，2+8+8=18，12和18都能被3整除，所以□中

可能是2或8；

三、解决问题

1、已知两数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。

2、小明家房间的地面正好是正方形，要铺地砖，不论选择边长是50

厘米的方砖，还是选择边长是60厘米的方砖都正好铺满，小明房间

的地面至少是多少平方米

分析：房间的面积要最小，也就是房间的面积要同时是两种方砖面积

的最小整数倍，也就是房间的边长要是两种方砖边张的最小公倍数。

3、一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正

方形，且没有剩余．最少可以分成几个这样的小正方形

分析：看到最少，不能错认为是求最小公倍数，截的块数要最少，说

明每块在正方形截得的面积要最大，也就是边长要最大。即求长、宽

的最大公因数，再用长方形纸的面积÷截得的每块小正方形的面积。

4、某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，

最后一排都只有2人。这个学校五年级至少有（）名学生。

分析：由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学

校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数，求至少就是、5、7的最

小公倍数加2，据此解答。

解答：3、5、7两两互质，它们最小公倍数等于它们的乘积；

3、5、7的最小公倍数：3×5×7=105；105+2=107（名）；

因数、倍数、质数、合数

一、因数倍数的特征

1、重点归纳

（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的

因数是它本身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它

本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的

倍数。

（2）2、3、5、9倍数的特征：

2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；

5的倍数的特征：个位数字是0或5；

同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；

3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；

9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。

同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的

数字之和是3的倍数

（3）质数（素数）、合数

最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。

最小的合数是4，没有最大的合数。

1既不是质数，也不是合数。

（4）分解质因数的方法

用短除法，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，

一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商

写成相乘的形式。

（5）奇数、偶数的运算性质：

奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=

奇数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数

偶数×偶数=偶数

2、典型练习

（1）判断：因为48÷8=6，所以说48是倍数，8是因数。

（）

（2）用a表示一个大于1的自然数，则a2一定是（）。

A、奇数B、偶数C、质数D、

合数

二、两数互质的几种特殊情况：

（1）两个不相同的质数一定是互质数。如：7和13、17和19是互

质数。

（2）两个连续的自然数一定是互质数。如：4和5、13和14是互质

数。

（3）相邻的两个奇数一定是互质数。如：5和7、75和77是互质数。

（4）1和其他所有的自然数一定是互质数。如：1和4、1和13是互

质数。

（5）2和任意一个奇数都是互质数。如2和1、2和9都是互质数。

（6）一个奇数和质因数只有2的偶数都是互质数。如9和4、3和8

都是互质数。因数只有2的偶数，指的是如8=2×2×2，

16=2×2×2×2；32=2×2×2×2×2……

三、最大公因数和最小公倍数

1、重点归纳

（1）在求最小公因数和最大公倍数的时候，我们要区分两者的区别

与联系。两者都可以用短除法来求，但是前者是所有的除数相乘，而

后者是把除数和商连乘起来而得到。

（2）求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况：

①1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。

②倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的

数。举例：15和5，[15，5]=15，（15，5）=5

③互质的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。举例：

[3，7]=21，（3，7）=1

（3）在解决最大公因数和最小公倍数的实际问题中，一般问题中有

“最大”、“最多”是求最大公因数的问题；一般问题中有“最少”、

“至少”是求最小公倍数的问题。

（4）两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的一个重要性质

是：

最大公因数×最小公倍数=两个数的乘积

（5）求两个数的最小公倍数的方法：这两个数的公有质因数与独有

质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数。

2、典型练习

例1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，

另一个是数（）。

例2、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多

少

例3、甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，这两个数的最小公倍数

是（）。

例4、学校举行春季运动会，六1班人数的

8

3

参加田赛，

7

3

参加径赛，

六1班人数是（）人。

例5、能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（）

例6、一筐苹果（在100以内），按每份3个分多1个；每份5个分

多3个，每份7个分多2个，这筐苹果原有（）个。

例7、从学校到文化中心的这段公路一侧，一共有37盏路灯（两端

均安装），原来每两盏灯之间相距50米，选择要改成每两盏之间相

距60米，除去两端不移动外，中间有多少盏路灯不需要重新安装

例8：用96朵红花和72朵黄花做花束,如果每个花束里的红花朵数

同样多,每个花束里的黄花也同样多，且两种花都没有剩余。每个花

束里最少有多少朵花

练习

一、填空题

1、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是

714，这两个数各是（）和（）。

2、一个数与48的最大公约数是12，最小公倍数是144，这个数是

（）。

3、既有因数3，又是5的倍数的最小三位数是（）

4、甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，当A=（）时，甲、乙

两数的最小公倍数是630。

二、选择题

1、a÷b=9（a、b都是整数），那么a与b的最小公倍数是（）

A、aB、bC、abD、

9

2、甲数×3=乙数，（甲乙都是非0自然数），则乙数是甲数的（）

A、倍数B、因数C、自然数

D、质数

3、下面的数，因数个数最少的是（）

A、16B、36C、40

4、1、3、7都是21的（）

A、质因数B、公因数C、奇数D、

因数

5、28□同时是2、3的倍数，□中可能是（）

A、0或2或4或6或8B、2或5或8C、2或8D、以上说

法都不正确

三、解决问题

1、已知两数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。

2、小明家房间的地面正好是正方形，要铺地砖，不论选择边长是50

厘米的方砖，还是选择边长是60厘米的方砖都正好铺满，小明房间

的地面至少是多少平方米

3、一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正

方形，且没有剩余．最少可以分成几个这样的小正方形

4、某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，

最后一排都只有2人。这个学校五年级至少有（）名学生。